37.13P Mostre que em uma transformação adiabática de um gás ideal monoatômico contendo N moléculas vale a relação
d U=\frac{3}{2} N k d T
Sugcstão: considere o resultado do Problema 37.9.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em uma transformação adiabática de um gás ideal monoatômico contendo N moléculas, vale a relação
dU=\frac{3}{2}N k\, dT.
Informações dadas e fixas:
  • É um gás ideal monoatômico com N moléculas.
  • A transformação é adiabática (ou seja, troca de calor dQ=0), embora a fórmula pedida envolva dU e dT.
  • k é a constante de Boltzmann.
    O objetivo é deduzir a expressão para dU em função de dT.

Passo 2

Entender o que é a energia interna U de um gás ideal monoatômico.
Para um gás ideal monoatômico, a energia interna é puramente cinética das moléculas (não há energia interna por rotação ou vibração ativa). Pela teoria cinética / princípio de equipartição da energia, cada grau de liberdade de translação contribui com energia média \tfrac{1}{2}kT por molécula, onde:
  • k é a constante de Boltzmann;
  • T é a temperatura absoluta.
    Uma molécula monoatômica livre tem três graus de liberdade de translação (movimento nas direções x,y,z). Portanto a energia média cinética por molécula é
\text{energia média por molécula} = \frac{3}{2}kT.éé
Explicação curta do porquê: equipartição diz que, em equilíbrio térmico, cada grau quadrático de energia tem média \tfrac{1}{2}kT. Translação tem três termos quadráticos (velocidade v_x^2,v_y^2,v_z^2) → 3\times \tfrac{1}{2}kT.

Passo 3

Calcular a energia interna total U do gás a partir da energia por molécula. Como há N moléculas idênticas, a energia interna total é
U = N \times \text{energia média por molécula} = N\cdot\frac{3}{2}kT.éé
Ou seja,
U=\frac{3}{2}N k T.
Comentário didático: essa relação mostra por que, para um gás ideal monoatômico, a energia interna depende só da temperatura T e não de V ou P. Isso é fundamental: qualquer variação de U vem apenas de variação de T.

Passo 4

Diferenciar a expressão de U em relação às variáveis para obter dU. Na expressão U=\tfrac{3}{2}N k T as quantidades N e k são constantes (número de moléculas fixo e constante de Boltzmann). Logo derivando em relação à temperatura:
dU=\frac{3}{2}N k\, dT.
Isso é justamente a relação que se pedia.

Passo 5

Comentário de consistência com transformação adiabática (ligando com a primeira lei): na primeira lei da termodinâmica
dQ=dU+P\,dV.
Para uma transformação adiabática vale dQ=0, logo dU=-P\,dV. Usando o resultado que acabamos de obter,
\frac{3}{2}N k\, dT = -P\,dV.
Se for necessário relacionar dT e dV explicitamente pode-se usar a equação dos gases ideais
P V = N k T,
diferenciá-la e combinar com a condição adiabática para obter as leis habituais P V^\gamma= const, etc. Mas a relação principal pedida ( dU=\tfrac{3}{2}N k\,dT) já foi demonstrada e é independente do fato de o processo ser adiabático: ela decorre da dependência de U somente com T para gás ideal monoatômico.

Passo 6

Resumo do porquê passo a passo (para você aplicar na prova):
  • Use o princípio de equipartição para obter energia média por molécula \tfrac{3}{2}kT.
  • Multiplique por N para obter U=\tfrac{3}{2}NkT.
  • Diferencie em T para obter dU=\tfrac{3}{2}Nk\,dT.
    Decoração prática: memorize que o calor específico molar (a volume constante) para monoatômico é C_V=\tfrac{3}{2}R por mol, e em unidades por molécula isso dá C_V=\tfrac{3}{2}k por molécula; daí dU=C_V\cdot N\,dT=\tfrac{3}{2}Nk\,dT.

Resposta

dU=\frac{3}{2}N k\, dT

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