37.13P Mostre que em uma transformação adiabática de um gás ideal monoatômico contendo
moléculas vale a relação
Sugcstão: considere o resultado do Problema 37.9.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em uma transformação adiabática de um gás ideal monoatômico contendo
moléculas, vale a relação
Informações dadas e fixas:
- É um gás ideal monoatômico com
moléculas. - A transformação é adiabática (ou seja, troca de calor
), embora a fórmula pedida envolva e . -
é a constante de Boltzmann.
O objetivo é deduzir a expressão paraem função de .
Passo 2
Entender o que é a energia interna
de um gás ideal monoatômico.
Para um gás ideal monoatômico, a energia interna é puramente cinética das moléculas (não há energia interna por rotação ou vibração ativa). Pela teoria cinética / princípio de equipartição da energia, cada grau de liberdade de translação contribui com energia média por molécula, onde:
Para um gás ideal monoatômico, a energia interna é puramente cinética das moléculas (não há energia interna por rotação ou vibração ativa). Pela teoria cinética / princípio de equipartição da energia, cada grau de liberdade de translação contribui com energia média
-
é a constante de Boltzmann; -
é a temperatura absoluta.
Uma molécula monoatômica livre tem três graus de liberdade de translação (movimento nas direções). Portanto a energia média cinética por molécula é
Explicação curta do porquê: equipartição diz que, em equilíbrio térmico, cada grau quadrático de energia tem média
. Translação tem três termos quadráticos (velocidade
) →
.
Passo 3
Calcular a energia interna total
do gás a partir da energia por molécula. Como há
moléculas idênticas, a energia interna total é
Ou seja,
Comentário didático: essa relação mostra por que, para um gás ideal monoatômico, a energia interna depende só da temperatura
e não de
ou
. Isso é fundamental: qualquer variação de
vem apenas de variação de
.
Passo 4
Diferenciar a expressão de
em relação às variáveis para obter
. Na expressão
as quantidades
e
são constantes (número de moléculas fixo e constante de Boltzmann). Logo derivando em relação à temperatura:
Isso é justamente a relação que se pedia.
Passo 5
Comentário de consistência com transformação adiabática (ligando com a primeira lei): na primeira lei da termodinâmica
Para uma transformação adiabática vale
, logo
. Usando o resultado que acabamos de obter,
Se for necessário relacionar
e
explicitamente pode-se usar a equação dos gases ideais
diferenciá-la e combinar com a condição adiabática para obter as leis habituais
const, etc. Mas a relação principal pedida (
) já foi demonstrada e é independente do fato de o processo ser adiabático: ela decorre da dependência de
somente com
para gás ideal monoatômico.
Passo 6
Resumo do porquê passo a passo (para você aplicar na prova):
- Use o princípio de equipartição para obter energia média por molécula
. - Multiplique por
para obter . - Diferencie em
para obter .
Decoração prática: memorize que o calor específico molar (a volume constante) para monoatômico épor mol, e em unidades por molécula isso dá por molécula; daí .