37.11E Um mol de um gás monoatômico expande-se adiabaticamente. partindo da pressão de 1,50 \mathrm{~atm} e temperatura de 298 K , até atingir a pressão final de 1,00 \mathrm{~atm}. Qual é o trabalho realizado pelo gás? Sugestão: considere o resultado do Problema37.8.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o trabalho realizado por um mol de um gás monoatômico que se expande adiabaticamente, partindo de pressão inicial P_1 = 1,50\\ \mathrm{atm} e temperatura inicial T_1 = 298\\ \mathrm{K}, até pressão final P_2 = 1,00\\ \mathrm{atm}. Dados relevantes fornecidos:
  • n = 1 mol (um mol do gás).
  • P_1 = 1,50\\ \mathrm{atm} (pressão inicial).
  • T_1 = 298\\ \mathrm{K} (temperatura inicial).
  • P_2 = 1,00\\ \mathrm{atm} (pressão final).
    Informações que vamos usar (valores e constantes):
  • Constante dos gases: R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Conversão de pressão: 1\\ \mathrm{atm} = 101325\\ \mathrm{Pa}.
  • Para gás monoatômico ideal reversível em processo adiabático, a razão de capacidades é \gamma = \dfrac{C_P}{C_V} = \dfrac{5}{3}.
    O que se pede exatamente: o trabalho W realizado pelo gás durante essa expansão adiabática reversível.

Passo 2

Relembrando as fórmulas úteis (com explicação didática):
  • Lei dos gases ideais: P V = n R T,
onde P é a pressão, V é o volume, n o número de mols, R a constante dos gases e T a temperatura. Esta fórmula relaciona pressão, volume e temperatura de um gás ideal.
  • Para um processo adiabático reversível de gás ideal vale a relação politrópica (adiabática): P V^{\gamma} = \text{constante},
onde \gamma é a razão dos calores específicos (para monoatômico \gamma=5/3). Isso significa que ao longo do processo o produto P V^{\gamma} não muda.
  • O trabalho realizado pelo gás ao expandir-se reversivelmente de V_1 para V_2 é W = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV.
Vamos usar a relação adiabática para escrever P em função de V e integrar explicitamente para obter uma fórmula prática para W.

Passo 3

Derivação da expressão prática para o trabalho em processo adiabático (passo a passo):
  1. Da adiabática temos P V^{\gamma} = C, constante. Então P = C V^{-\gamma}.
  2. Substituindo na integral do trabalho: W = \int_{V_1}^{V_2} C V^{-\gamma}\,dV = C \int_{V_1}^{V_2} V^{-\gamma}\,dV.
  3. Integrando (lembrando que \gamma \neq 1): \int V^{-\gamma}\,dV = \frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma},
logo W = \frac{C}{1-\gamma}\left[V^{1-\gamma}\right]_{V_1}^{V_2} = \frac{C}{1-\gamma}\left(V_2^{1-\gamma}-V_1^{1-\gamma}\right).
  1. Substituir C = P_1 V_1^{\gamma} (ou =P_2 V_2^{\gamma}). Usando C=P_1 V_1^{\gamma} obtemos, após simplificar a potência, a forma conhecida: W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma-1}.
Esta é a fórmula prática que usaremos: cada termo P_i V_i tem unidade de energia (J), e \gamma-1 é adimensional.

Passo 4

Estratégia numérica: calcular V_1 a partir da lei dos gases ideais usando P_1 em pascal; obter V_2 usando a relação adiabática \;V_2 = V_1\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^{1/\gamma}; depois aplicar W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma-1}.
Explicando por que isso funciona: conhecendo V_1 e os dois Ps, a adiabática fornece V_2. Então P_1V_1 e P_2V_2 são conhecidos e podemos usar a fórmula do passo anterior.

Passo 5

Converter pressões para pascal e calcular V_1:
  • P_1 = 1,50\\ \mathrm{atm} = 1,50\times101325\\ \mathrm{Pa} = 151987{,}5\\ \mathrm{Pa}.
  • P_2 = 1,00\\ \mathrm{atm} = 101325\\ \mathrm{Pa}.
  • Usando a equação dos gases ideais para V_1:
V_1 = \frac{n R T_1}{P_1}.
Substituindo n=1, R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} e T_1=298\\ \mathrm{K}:
V_1 = \frac{1\cdot 8,314\cdot 298}{151987{,}5}\\ \mathrm{m^3} = \frac{2478{,}772}{151987{,}5}\\ \mathrm{m^3}.
Calculando:
V_1 \approx 0{,}016313\\ \mathrm{m^3}.
(Observe que isso corresponde a cerca de 16{,}3\\ \mathrm{L}.)

Passo 6

Calcular V_2 via relação adiabática:
  • Para monoatômico \gamma = \dfrac{5}{3}. Assim 1/\gamma = \dfrac{3}{5} = 0{,}6.
  • V_2 = V_1\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{1/\gamma} = V_1\left(\frac{1{,}50}{1{,}00}\right)^{0{,}6} = V_1\,(1{,}5)^{0{,}6}.
Calculemos (1{,}5)^{0{,}6}. Numericam.: (1{,}5)^{0{,}6}\approx 1{,}275462.
Logo
V_2 \approx 0{,}016313\times 1{,}275462 \approx 0{,}020800\\ \mathrm{m^3}.
(aprox. 20{,}8\\ \mathrm{L}.)

Passo 7

Calcular P_1V_1 e P_2V_2 (esses produtos têm unidade de energia):
  • Pela definição dos gases ideais P_1V_1 = n R T_1, então já sabemos:
P_1 V_1 = 1\cdot 8{,}314\cdot 298 = 2478{,}772\\ \mathrm{J}.
  • Calcular P_2 V_2:
P_2 V_2 = 101325\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}020800\\ \mathrm{m^3} \approx 2107{,}56\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Agora aplicar a fórmula do trabalho:
W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma-1}.
Aqui \gamma-1 = \dfrac{5}{3}-1 = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}6666667. Substituindo os números:
W = \frac{2478{,}772 - 2107{,}560}{2/3} = \frac{371{,}212}{2/3} = 371{,}212\times\frac{3}{2}.
Calculando:
W \approx 371{,}212\times 1{,}5 \approx 556{,}818\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Interpretação do resultado: o trabalho W saiu positivo porque o gás se expandiu e realizou trabalho sobre o meio externo. O valor arredondado com três algarismos significativos é 5,57\times10^{2}\\ \mathrm{J} ou, em notação comum, 557\\ \mathrm{J}.

Resposta

W \approx 556{,}8\\ \mathrm{J} \\ (\text{aprox. }557\\ \mathrm{J})

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