37.11E Um mol de um gás monoatômico expande-se adiabaticamente. partindo da pressão de
e temperatura de 298 K , até atingir a pressão final de
. Qual é o trabalho realizado pelo gás? Sugestão: considere o resultado do Problema37.8.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o trabalho realizado por um mol de um gás monoatômico que se expande adiabaticamente, partindo de pressão inicial
e temperatura inicial
, até pressão final
. Dados relevantes fornecidos:
-
mol (um mol do gás). -
(pressão inicial). -
(temperatura inicial). -
(pressão final).
Informações que vamos usar (valores e constantes): - Constante dos gases:
. - Conversão de pressão:
. - Para gás monoatômico ideal reversível em processo adiabático, a razão de capacidades é
.
O que se pede exatamente: o trabalhorealizado pelo gás durante essa expansão adiabática reversível.
Passo 2
Relembrando as fórmulas úteis (com explicação didática):
- Lei dos gases ideais:
onde
é a pressão,
é o volume,
o número de mols,
a constante dos gases e
a temperatura. Esta fórmula relaciona pressão, volume e temperatura de um gás ideal.
- Para um processo adiabático reversível de gás ideal vale a relação politrópica (adiabática):
onde
é a razão dos calores específicos (para monoatômico
). Isso significa que ao longo do processo o produto
não muda.
- O trabalho realizado pelo gás ao expandir-se reversivelmente de
para é
Vamos usar a relação adiabática para escrever
em função de
e integrar explicitamente para obter uma fórmula prática para
.
Passo 3
Derivação da expressão prática para o trabalho em processo adiabático (passo a passo):
- Da adiabática temos
, constante. Então . - Substituindo na integral do trabalho:
- Integrando (lembrando que
):
logo
- Substituir
(ou ). Usando obtemos, após simplificar a potência, a forma conhecida:
Esta é a fórmula prática que usaremos: cada termo
tem unidade de energia (J), e
é adimensional.
Passo 4
Estratégia numérica: calcular
a partir da lei dos gases ideais usando
em pascal; obter
usando a relação adiabática
; depois aplicar
Explicando por que isso funciona: conhecendo
e os dois
s, a adiabática fornece
. Então
e
são conhecidos e podemos usar a fórmula do passo anterior.
Passo 5
Converter pressões para pascal e calcular
:
-
-
- Usando a equação dos gases ideais para
:
Substituindo
,
e
:
Calculando:
(Observe que isso corresponde a cerca de
.)
Passo 6
Calcular
via relação adiabática:
- Para monoatômico
. Assim . -
Calculemos
. Numericam.:
.
Logo
Logo
(aprox.
.)
Passo 7
Calcular
e
(esses produtos têm unidade de energia):
- Pela definição dos gases ideais
, então já sabemos:
- Calcular
:
Passo 8
Agora aplicar a fórmula do trabalho:
Aqui
. Substituindo os números:
Calculando:
Passo 9
Interpretação do resultado: o trabalho
saiu positivo porque o gás se expandiu e realizou trabalho sobre o meio externo. O valor arredondado com três algarismos significativos é
ou, em notação comum,
.