-37 Os diamantes de imitação usados em bijuteria são feitos de vidro com índice de refração 1,50 . Para que reflitam melhor a luz, costuma-se revesti-los com uma camada de monóxido de silício de índice de refração 2,00 . Determine a menor espessura da camada de monóxido de silício para que uma onda de comprimento de onda 560 nm e incidência perpendicular sofra interferência construtiva ao ser refletida pelas duas superfícies da camada.
–53 A reflexão de um feixe de luz branca que incide perpendicularmente em uma película uniforme, de sabão, suspensa no ar, cujo índice de refração é 1,33 , apresenta um máximo de interferência em 600 nm e o mínimo mais próximo está em 450 nm . Qual é a espessura da película?

Passo 1

Enunciados e dados (vou separar os dois itens para ficar organizado):
  • Problema -37: Um substrato de vidro tem índice de refração 1,50. Sobre ele há uma camada de monóxido de silício com índice de refração 2,00. A luz de comprimento de onda 560\\ \text{nm} incide perpendicularmente sobre a camada (vindo do ar). Pergunta: qual é a menor espessura da camada para que as ondas refletidas pelas duas superfícies da camada sofra interferência construtiva?
Dados importantes:
\text{índices: } n_{\text{ar}} \approx 1,00,\quad n_{\text{camada}} = 2,00,\quad n_{\text{vidro}} = 1,50,í
\lambda_{\text{ar}} = 560\\ \text{nm}.
  • Problema -53: Uma película de sabão (índice 1,33) está suspensa no ar. A reflexão perpendicular apresenta um máximo (interferência construtiva) em 600\\ \text{nm} e o mínimo mais próximo está em 450\\ \text{nm}. Pergunta: qual é a espessura da película?
Dados importantes:
n_{\text{filme}} = 1,33,\quad \lambda_{\text{max}} = 600\\ \text{nm},\quad \lambda_{\text{min}} = 450\\ \text{nm}.

Passo 2

Conceitos essenciais (aula rápida e prática antes de aplicar): quando uma onda incide numa fina camada, duas reflexões dominantes são consideradas: uma na face superior (ar → filme) e outra na face inferior (filme → substrato ou ar). Temos dois efeitos que geram diferença de fase entre essas ondas refletidas:
  1. Diferença de caminho óptico: a luz que entra na camada vai, volta e sai. O comprimento de caminho dentro da camada, para incidência perpendicular, é 2t (ida e volta). Em termos de fase, esse caminho corresponde a uma diferença de fase
\Delta\phi_{\text{caminho}}=\frac{2\pi}{\lambda}\cdot 2n\,t=\frac{4\pi n t}{\lambda},
onde n é o índice do filme, t é a espessura e \lambda é o comprimento de onda no ar (ou vácuo), que é o valor geralmente dado.
  1. Mudança de fase por reflexão: regra prática — ao refletir numa interface onde a onda vai de um meio de menor índice para um de maior índice ( n_{\text{inc}}<n_{\text{ref}}), a reflexão acrescenta uma fase de \pi (equivalente a meio comprimento de onda). Ao refletir de um meio de maior para menor índice, não há essa inversão de fase. Portanto cada reflexão pode contribuir com 0 ou \pi de fase adicional.
A fase total relativa entre as duas ondas refletidas é a soma da diferença de caminho e da diferença de fases por reflexão:
\Delta\phi_{\text{total}}=\frac{4\pi n t}{\lambda}+\Delta\phi_{\text{reflexões}}.õ
Para interferência construtiva queremos \Delta\phi_{\text{total}}=2\pi m (m inteiro). Para interferência destrutiva queremos \Delta\phi_{\text{total}}=(2m+1)\pi.
Vou aplicar essas ideias passo a passo em cada problema — sem pular contas.

Passo 3

Resolvendo o problema -37 — analisar mudanças de fase nas reflexões:
  • Reflexão na face superior (ar n=1 → camada n=2,00): vem de índice menor para maior → há inversão de fase: acréscimo de \pi.
  • Reflexão na face inferior (camada n=2,00 → vidro n=1,50): vem de índice maior para menor → não há inversão de fase: acréscimo de 0.
Logo a diferença de fase causada por reflexões é \Delta\phi_{\text{reflexões}}=\piõ.

Passo 4

Formular condição de interferência (para o problema -37):
Usando a expressão para \Delta\phi_{\text{total}},
\frac{4\pi n t}{\lambda} + \pi = 2\pi m,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Dividindo por \pi:
\frac{4 n t}{\lambda} + 1 = 2m \quad\Rightarrow\quad \frac{2 n t}{\lambda}=\frac{2m-1}{2}.
Isolando t:
t=\frac{(2m-1)\lambda}{4n}.
Os valores possíveis de t são dados por m=1,2,\dots. A menor espessura positiva corresponde a m=1:
t_{\min}=\frac{\lambda}{4n}.

Passo 5

Calcular numericamente para -37:
Substituindo \lambda=560\\ \text{nm} e n=2,00:
t_{\min}=\frac{560\\ \text{nm}}{4\cdot 2,00}=\frac{560}{8}\\ \text{nm}=70\\ \text{nm}.
Interpretação rápida: é o clássico resultado t=\lambda/(4n) quando somente uma das reflexões sofre inversão de fase — isso dá uma espessura de quarto de comprimento de onda (no meio).

Passo 6

Resolvendo o problema -53 — identificar as condições:
Configuração: ar (n≈1) → filme (n=1,33) → ar (n≈1). Reflexão superior: ar → filme (menor → maior) → inversão de fase ( \pi). Reflexão inferior: filme → ar (maior → menor) → sem inversão. Portanto, novamente \Delta\phi_{\text{reflexões}}=\piõ. As condições gerais (vistas no Passo 4) valem aqui também.
Das expressões gerais que já obtivemos:
  • Condição de máximos (construtivos, na reflexão):
\frac{4\pi n t}{\lambda} + \pi = 2\pi m \quad\Rightarrow\quad 2 n t = \left(m-\tfrac{1}{2}\right)\lambda.
  • Condição de mínimos (destrutivos, na reflexão):
\frac{4\pi n t}{\lambda} + \pi = (2m+1)\pi \quad\Rightarrow\quad 2 n t = m\lambda.
(Usei índices inteiros possivelmente distintos para máximos e mínimos; atenção aos valores que dão comprimentos de onda observados.)

Passo 7

Aplicar os comprimentos observados ( 600\\ \text{nm} máximo e 450\\ \text{nm} mínimo) de forma algébrica:
Defina A=2 n t (isso ajuda a reduzir notação). Então as condições viram:
  • Para o máximo observado ( 600\\ \text{nm}), existe inteiro m_1 tal que
A=\left(m_1-\tfrac{1}{2}\right)\lambda_{\max}=\left(m_1-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 600.
  • Para o mínimo mais próximo ( 450\\ \text{nm}), existe inteiro m_2 tal que
A=m_2\lambda_{\min}=m_2\cdot 450.
Igualando as duas expressões para A:
\left(m_1-\tfrac{1}{2}\right)600 = m_2\cdot 450.
Multiplicando por 2 para evitar frações:
(2m_1-1)\,600 = 2m_2\cdot 450.
Simplificando por 150:
4m_1-2 = 3m_2.
Agora devemos achar inteiros m_1,m_2 que satisfaçam essa relação. Como o mínimo é o mais próximo do máximo observado, os índices serão pequenos e próximos — vamos testar valores pequenos de m_1:
  • m_1=1 4\cdot1-2=2 3m_2=2 m_2 não inteiro.
  • m_1=2 4\cdot2-2=6 3m_2=6 m_2=2. Isso funciona.
Portanto uma solução consistente é m_1=2 e m_2=2. (Isso também faz sentido fisicamente: o máximo e o mínimo “mais próximo” podem corresponder a ordens que caem muito próximas em comprimento de onda.)

Passo 8

Calcular A e depois t:
Com m_2=2,
A = m_2\cdot 450 = 2\cdot 450\\ \text{nm} = 900\\ \text{nm}.
Lembre que A=2 n t. Logo
t=\frac{A}{2n}=\frac{900\\ \text{nm}}{2\cdot 1,33}=\frac{900}{2,66}\\ \text{nm}.
Fazendo a divisão:
t\approx 338,346\\ \text{nm}.
Arredondando com razoável precisão para duas casas decimais:
t\approx 338,35\\ \text{nm}.

Passo 9

Cheque rápido (verificação): com t\approx 338,35\\ \text{nm} e n=1,33,
2 n t \approx 2\cdot 1,33\cdot 338,35\\ \text{nm}\approx 900\\ \text{nm}.
  • Mínimos: \lambda_{\min}=\dfrac{2 n t}{m_2}=\dfrac{900}{2}=450\\ \text{nm} (confere).
  • Máximos: para m_1=2, \lambda_{\max}=\dfrac{2 n t}{m_1-\tfrac{1}{2}}=\dfrac{900}{1,5}=600\\ \text{nm} (confere).
Tudo consistente.

Resposta

-37: 70\\ \text{nm}
-53: 338,35\\ \text{nm}

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