-37 Os diamantes de imitação usados em bijuteria são feitos de vidro com índice de refração 1,50 . Para que reflitam melhor a luz, costuma-se revesti-los com uma camada de monóxido de silício de índice de refração 2,00 . Determine a menor espessura da camada de monóxido de silício para que uma onda de comprimento de onda 560 nm e incidência perpendicular sofra interferência construtiva ao ser refletida pelas duas superfícies da camada.
–53 A reflexão de um feixe de luz branca que incide perpendicularmente em uma película uniforme, de sabão, suspensa no ar, cujo índice de refração é 1,33 , apresenta um máximo de interferência em 600 nm e o mínimo mais próximo está em 450 nm . Qual é a espessura da película?
–53 A reflexão de um feixe de luz branca que incide perpendicularmente em uma película uniforme, de sabão, suspensa no ar, cujo índice de refração é 1,33 , apresenta um máximo de interferência em 600 nm e o mínimo mais próximo está em 450 nm . Qual é a espessura da película?
Passo 1
Enunciados e dados (vou separar os dois itens para ficar organizado):
- Problema
: Um substrato de vidro tem índice de refração . Sobre ele há uma camada de monóxido de silício com índice de refração . A luz de comprimento de onda incide perpendicularmente sobre a camada (vindo do ar). Pergunta: qual é a menor espessura da camada para que as ondas refletidas pelas duas superfícies da camada sofra interferência construtiva?
Dados importantes:
- Problema
: Uma película de sabão (índice ) está suspensa no ar. A reflexão perpendicular apresenta um máximo (interferência construtiva) em e o mínimo mais próximo está em . Pergunta: qual é a espessura da película?
Dados importantes:
Passo 2
Conceitos essenciais (aula rápida e prática antes de aplicar): quando uma onda incide numa fina camada, duas reflexões dominantes são consideradas: uma na face superior (ar → filme) e outra na face inferior (filme → substrato ou ar). Temos dois efeitos que geram diferença de fase entre essas ondas refletidas:
- Diferença de caminho óptico: a luz que entra na camada vai, volta e sai. O comprimento de caminho dentro da camada, para incidência perpendicular, é
(ida e volta). Em termos de fase, esse caminho corresponde a uma diferença de fase
onde
é o índice do filme,
é a espessura e
é o comprimento de onda no ar (ou vácuo), que é o valor geralmente dado.
- Mudança de fase por reflexão: regra prática — ao refletir numa interface onde a onda vai de um meio de menor índice para um de maior índice (
), a reflexão acrescenta uma fase de (equivalente a meio comprimento de onda). Ao refletir de um meio de maior para menor índice, não há essa inversão de fase. Portanto cada reflexão pode contribuir com ou de fase adicional.
A fase total relativa entre as duas ondas refletidas é a soma da diferença de caminho e da diferença de fases por reflexão:
Para interferência construtiva queremos
(m inteiro). Para interferência destrutiva queremos
.
Vou aplicar essas ideias passo a passo em cada problema — sem pular contas.
Passo 3
Resolvendo o problema
— analisar mudanças de fase nas reflexões:
- Reflexão na face superior (ar
→ camada ): vem de índice menor para maior → há inversão de fase: acréscimo de . - Reflexão na face inferior (camada
→ vidro ): vem de índice maior para menor → não há inversão de fase: acréscimo de .
Logo a diferença de fase causada por reflexões é
.
Passo 4
Formular condição de interferência (para o problema
):
Usando a expressão para ,
Usando a expressão para
Dividindo por
:
Isolando
:
Os valores possíveis de
são dados por
. A menor espessura positiva corresponde a
:
Passo 5
Calcular numericamente para
:
Substituindo e
:
Substituindo
Interpretação rápida: é o clássico resultado
quando somente uma das reflexões sofre inversão de fase — isso dá uma espessura de quarto de comprimento de onda (no meio).
Passo 6
Resolvendo o problema
— identificar as condições:
Configuração: ar (n≈1) → filme (n=1,33) → ar (n≈1). Reflexão superior: ar → filme (menor → maior) → inversão de fase ( ). Reflexão inferior: filme → ar (maior → menor) → sem inversão. Portanto, novamente
. As condições gerais (vistas no Passo 4) valem aqui também.
Configuração: ar (n≈1) → filme (n=1,33) → ar (n≈1). Reflexão superior: ar → filme (menor → maior) → inversão de fase (
Das expressões gerais que já obtivemos:
- Condição de máximos (construtivos, na reflexão):
- Condição de mínimos (destrutivos, na reflexão):
(Usei índices inteiros possivelmente distintos para máximos e mínimos; atenção aos valores que dão comprimentos de onda observados.)
Passo 7
Aplicar os comprimentos observados (
máximo e
mínimo) de forma algébrica:
Defina (isso ajuda a reduzir notação). Então as condições viram:
Defina
- Para o máximo observado (
), existe inteiro tal que
- Para o mínimo mais próximo (
), existe inteiro tal que
Igualando as duas expressões para
:
Multiplicando por
para evitar frações:
Simplificando por
:
Agora devemos achar inteiros
que satisfaçam essa relação. Como o mínimo é o mais próximo do máximo observado, os índices serão pequenos e próximos — vamos testar valores pequenos de
:
-
→ → → não inteiro. -
→ → → . Isso funciona.
Portanto uma solução consistente é
e
. (Isso também faz sentido fisicamente: o máximo e o mínimo “mais próximo” podem corresponder a ordens que caem muito próximas em comprimento de onda.)
Passo 8
Calcular
e depois
:
Com ,
Com
Lembre que
. Logo
Fazendo a divisão:
Arredondando com razoável precisão para duas casas decimais:
Passo 9
Cheque rápido (verificação): com
e
,
- Mínimos:
(confere). - Máximos: para
, (confere).
Tudo consistente.
Resposta
-37:
-53: