\mathbf{1 4}^{\boldsymbol{9}} ) O comprimento de onda de um de um laser de \mathrm{He}-\mathrm{Ne} vale 632,8 \mathrm{~nm}. Qual é a energia cinética de um elétron cujo comprimento de onda de de Broglie é igual ao comprimento de onda de um fóton do laser de \mathrm{He}-\mathrm{Ne} ?
159) Enuncie e explique o princípio de incerteza de Heisenberg.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a energia cinética de um elétron cujo comprimento de onda de de Broglie é igual ao comprimento de onda de um fóton do laser He–Ne, cujo comprimento de onda é \lambda=632{,}8\\ \mathrm{nm}.
  2. Enunciar e explicar o princípio da incerteza de Heisenberg.
Informações dadas e constantes que vamos usar (tudo em notação explícita):
\lambda=632{,}8\\ \mathrm{nm}=632{,}8\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Constante de Planck: h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Massa do elétron: m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Constante de conversão: 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Também usaremos \hbar=\dfrac{h}{2\pi}=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} quando tratarmos da incerteza.

Passo 2

Conceito e relação fundamental (mini-aula): de Broglie propôs que partículas com momento linear p têm associada uma onda com comprimento de onda dado por
\lambda_{\text{dB}}=\frac{h}{p}.
Aqui \lambda_{\text{dB}} é o comprimento de onda de de Broglie, h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula (unidade \mathrm{kg\cdot m/s}). No problema nos dizem que \lambda_{\text{dB}} do elétron é igual a \lambda do laser, então usaremos
p=\frac{h}{\lambda}.
Essa fórmula é direta: quanto maior o comprimento de onda, menor o momento; quanto menor o comprimento de onda, maior o momento.

Passo 3

Calcular o momento do elétron usando \;p=\dfrac{h}{\lambda}\;. Substituindo os valores (tudo em notação numérica):
p=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{632{,}8\times10^{-9}}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Primeiro transformar \lambda em metros: \lambda=632{,}8\times10^{-9}=6{,}328\times10^{-7}\\ \mathrm{m}. Então
p=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{6{,}328\times10^{-7}} =1{,}047006\times10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Explicando a conta: dividimos os coeficientes e subtraímos os expoentes de 10, por isso o resultado vem em 10^{-27}.

Passo 4

Relacionamento entre momento e energia cinética (mini-aula): para um elétron não relativístico (velocidade muito menor que a da luz), a energia cinética K é
K=\frac{p^{2}}{2m_e}.
Aqui p é o momento linear e m_e é a massa do elétron. A justificativa é a clássica K=\tfrac{1}{2}mv^{2} com p=mv, daí K=p^{2}/(2m).

Passo 5

Calculando K com o valor de p obtido:
p^{2}=(1{,}047006\times10^{-27})^{2}=1{,}096246\times10^{-54}\\ \mathrm{kg^{2}\,m^{2}/s^{2}}.
Agora
K=\frac{1{,}096246\times10^{-54}}{2\times 9{,}10938356\times10^{-31}} =\frac{1{,}096246\times10^{-54}}{1{,}821876712\times10^{-30}}.
Fazendo a divisão obtemos
K\approx6{,}019\times10^{-25}\\ \mathrm{J}.
Detalhe didático: mantenha o controle dos expoentes de 10 ao dividir; subtrai-se -54-(-30)=-24 mais o ajuste dos coeficientes numéricos.

Passo 6

Converter K para elétron-volts (é a unidade mais amigável em física de partículas):
K_{\mathrm{(eV)}}=\frac{K_{\mathrm{(J)}}}{1{,}602176634\times10^{-19}}= \frac{6{,}019\times10^{-25}}{1{,}602176634\times10^{-19}}.
Fazendo a divisão:
K\approx3{,}758\times10^{-6}\\ \mathrm{eV}=3{,}758\\ \mu\mathrm{eV}.
Interpretação prática: essa energia é extremamente pequena (micro-electron-volts), muito menor que energias típicas de elétrons em átomos (que são na ordem de eV).

Passo 7

Verificação da hipótese não relativística (mini-aula/checagem): a fórmula K=p^{2}/(2m) é válida se a velocidade for muito menor que a da luz. Uma checagem simples é comparar p com m_e c:
m_e c=9{,}10938356\times10^{-31}\times 2{,}99792458\times10^{8}=2{,}7309\times10^{-22}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Como p\approx1{,}047\times10^{-27} e p\ll m_e c (aproximadamente 10^{-5} vezes menor), estamos confortáveis em usar a expressão não relativística. Em palavras: o elétron está longe de velocidades relativísticas.

Passo 8

Agora passamos ao segundo item: enunciar e explicar o princípio da incerteza de Heisenberg — vou primeiro enunciar a forma mais conhecida e depois explicar com calma.
Enunciado (fórmula principal):
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.
Aqui \Delta x é o desvio padrão (medida de incerteza) da posição e \Delta p é o desvio padrão do momento. \hbar é a constante reduzida de Planck ( \hbar=\dfrac{h}{2\pi}).

Passo 9

Explicação didática do que essa fórmula significa:
  • \Delta x e \Delta p não são erros de medição específicos do experimento, mas medidas estatísticas da distribuição de resultados de muitas medidas idênticas num mesmo estado quântico. Dizem o quanto, em média, os valores de posição e momento variam.
  • A desigualdade quer dizer que se você prepara um estado em que a posição está muito bem localizada (pequena \Delta x), então o momento necessariamente terá uma grande incerteza ( \Delta p grande). E vice-versa. É uma propriedade intrínseca das ondas/partículas quânticas, não um artefato de instrumentos imprecisos.
  • A origem matemática (resumo) vem do fato de que posição e momento são operadores não comutativos no formalismo quântico: [\hat x,\hat p]=i\hbar. A desigualdade de incerteza é uma consequência geral dessa não comutatividade e pode ser derivada usando propriedades de variância e desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 10

Um exemplo concreto para fixar a intuição (mini-cálculo):
Se \Delta x=1{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{m} (aprox. tamanho de um átomo), então a incerteza mínima em p é
\Delta p\ge\frac{\hbar}{2\Delta x}=\frac{1{,}054571817\times10^{-34}}{2\times1{,}0\times10^{-10}} \approx5{,}27\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Convertendo para incerteza em velocidade: \Delta v=\Delta p/m_e\approx5{,}27\times10^{-25}/9{,}11\times10^{-31}\approx5,8\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}. Ou seja, se localizamos um elétron na escala atômica, sua velocidade fica muito incerta (ordem de centenas de km/s), ilustrando o compromisso posição–momento.

Passo 11

Interpretações e cuidado conceitual (importante para prova):
  • Não confunda com princípio da ação de medir (a ideia antiga de que medir perturba o sistema). A perturbação existe, mas a incerteza quântica é mais profunda: estados quânticos simplesmente não podem ter arbitrariamente pequenas dispersões em dois observáveis que não comutam.
  • Há uma forma análoga para energia e tempo, frequentemente escrita como \Delta E\,\Delta t\gtrsim\hbar/2, mas atenção: \Delta t ali tem interpretação diferente (não é um operador no mesmo sentido) — é útil para estimar vida útil de estados excitados e largura espectral, por exemplo.

Resposta

K\approx6{,}02\times10^{-25}\\ \mathrm{J}\approx3{,}76\times10^{-6}\\ \mathrm{eV}.
Princípio de Heisenberg: \displaystyle \Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.

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