) O comprimento de onda de um de um laser de
vale
. Qual é a energia cinética de um elétron cujo comprimento de onda de de Broglie é igual ao comprimento de onda de um fóton do laser de
?
159) Enuncie e explique o princípio de incerteza de Heisenberg.
159) Enuncie e explique o princípio de incerteza de Heisenberg.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a energia cinética de um elétron cujo comprimento de onda de de Broglie é igual ao comprimento de onda de um fóton do laser He–Ne, cujo comprimento de onda é
. - Enunciar e explicar o princípio da incerteza de Heisenberg.
Informações dadas e constantes que vamos usar (tudo em notação explícita):
.
Constante de Planck: .
Massa do elétron: .
Constante de conversão: .
Também usaremos quando tratarmos da incerteza.
Constante de Planck:
Massa do elétron:
Constante de conversão:
Também usaremos
Passo 2
Conceito e relação fundamental (mini-aula): de Broglie propôs que partículas com momento linear
têm associada uma onda com comprimento de onda dado por
Aqui
é o comprimento de onda de de Broglie,
é a constante de Planck e
é o momento linear da partícula (unidade
). No problema nos dizem que
do elétron é igual a
do laser, então usaremos
Essa fórmula é direta: quanto maior o comprimento de onda, menor o momento; quanto menor o comprimento de onda, maior o momento.
Passo 3
Calcular o momento do elétron usando
. Substituindo os valores (tudo em notação numérica):
Primeiro transformar
em metros:
. Então
Explicando a conta: dividimos os coeficientes e subtraímos os expoentes de 10, por isso o resultado vem em
.
Passo 4
Relacionamento entre momento e energia cinética (mini-aula): para um elétron não relativístico (velocidade muito menor que a da luz), a energia cinética
é
Aqui
é o momento linear e
é a massa do elétron. A justificativa é a clássica
com
, daí
.
Passo 5
Calculando
com o valor de
obtido:
Agora
Fazendo a divisão obtemos
Detalhe didático: mantenha o controle dos expoentes de 10 ao dividir; subtrai-se
mais o ajuste dos coeficientes numéricos.
Passo 6
Converter
para elétron-volts (é a unidade mais amigável em física de partículas):
Fazendo a divisão:
Interpretação prática: essa energia é extremamente pequena (micro-electron-volts), muito menor que energias típicas de elétrons em átomos (que são na ordem de eV).
Passo 7
Verificação da hipótese não relativística (mini-aula/checagem): a fórmula
é válida se a velocidade for muito menor que a da luz. Uma checagem simples é comparar
com
:
Como
e
(aproximadamente
vezes menor), estamos confortáveis em usar a expressão não relativística. Em palavras: o elétron está longe de velocidades relativísticas.
Passo 8
Agora passamos ao segundo item: enunciar e explicar o princípio da incerteza de Heisenberg — vou primeiro enunciar a forma mais conhecida e depois explicar com calma.
Enunciado (fórmula principal):
Aqui
é o desvio padrão (medida de incerteza) da posição e
é o desvio padrão do momento.
é a constante reduzida de Planck (
).
Passo 9
Explicação didática do que essa fórmula significa:
-
e não são erros de medição específicos do experimento, mas medidas estatísticas da distribuição de resultados de muitas medidas idênticas num mesmo estado quântico. Dizem o quanto, em média, os valores de posição e momento variam. - A desigualdade quer dizer que se você prepara um estado em que a posição está muito bem localizada (pequena
), então o momento necessariamente terá uma grande incerteza ( grande). E vice-versa. É uma propriedade intrínseca das ondas/partículas quânticas, não um artefato de instrumentos imprecisos. - A origem matemática (resumo) vem do fato de que posição e momento são operadores não comutativos no formalismo quântico:
. A desigualdade de incerteza é uma consequência geral dessa não comutatividade e pode ser derivada usando propriedades de variância e desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 10
Um exemplo concreto para fixar a intuição (mini-cálculo):
Se (aprox. tamanho de um átomo), então a incerteza mínima em
é
Se
Convertendo para incerteza em velocidade:
. Ou seja, se localizamos um elétron na escala atômica, sua velocidade fica muito incerta (ordem de centenas de km/s), ilustrando o compromisso posição–momento.
Passo 11
Interpretações e cuidado conceitual (importante para prova):
- Não confunda com princípio da ação de medir (a ideia antiga de que medir perturba o sistema). A perturbação existe, mas a incerteza quântica é mais profunda: estados quânticos simplesmente não podem ter arbitrariamente pequenas dispersões em dois observáveis que não comutam.
- Há uma forma análoga para energia e tempo, frequentemente escrita como
, mas atenção: ali tem interpretação diferente (não é um operador no mesmo sentido) — é útil para estimar vida útil de estados excitados e largura espectral, por exemplo.
Resposta
Princípio de Heisenberg: