*4.37 Um disco circular de raio a está carregado com uma densidade uniforme de cargas \rho_{\mathrm{S}} \mathrm{C} / \mathrm{m}. Demonstre que o potencial em um ponto sobre o seu eixo afastado de h do seu centro é dado por:
\mathrm{V}=\frac{\rho_{\mathrm{s}}}{2 \varepsilon_{\mathrm{o}}}\left[\left(h^{2}+a^{2}\right)^{1 / 2}-h\right]

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a expressão do potencial elétrico em um ponto sobre o eixo de um disco circular carregado. Dados e pedido:
  • Disk de raio a.
  • Densidade superficial de carga uniforme \rho_{\mathrm{s}} (unidades \mathrm{C}/\mathrm{m}^2).
  • Ponto sobre o eixo do disco, a uma distância h do centro do disco (tomamos h\ge 0).
  • Referência do potencial escolhida tal que V(\infty)=0.
  • Pedem: demonstrar que
V=\frac{\rho_{\mathrm{s}}}{2 \varepsilon_{0}}\left[\left(h^{2}+a^{2}\right)^{1/2}-h\right].

Passo 2

Princípio que vamos usar (fórmula do potencial para distribuição de carga contínua):
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\iint \frac{\sigma(\mathbf{r'})\,dA'}{R},
onde:
  • \sigma(\mathbf{r'}) é a densidade superficial de carga no elemento de área dA',
  • R é a distância entre o elemento de área dA' e o ponto onde calculamos o potencial,
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
    No nosso problema \sigma(\mathbf{r'})=\rho_{\mathrm{s}} é constante e dQ=\rho_{\mathrm{s}}\,dA'.

Passo 3

Escolha de elemento diferencial conveniente: decompor o disco em anéis concêntricos de raio r e espessura dr.
  • Área do anel: dA'=2\pi r\,dr (circunferência 2\pi r vezes espessura dr).
  • Carga do anel: dQ=\rho_{\mathrm{s}}\,dA'=\rho_{\mathrm{s}}\,2\pi r\,dr.
    Explicação intuitiva: cada anel tem toda a sua carga à mesma distância axial do ponto sobre o eixo, o que facilita a integração.

Passo 4

Distância entre um ponto do anel de raio r e o ponto sobre o eixo a distância h do centro:
R=\sqrt{r^{2}+h^{2}}.
Potencial produzido pelo anel inteiro (todos os pontos do anel estão à mesma distância R, então somar a contribuição é multiplicar):
dV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dQ}{R} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{\mathrm{s}}\,2\pi r\,dr}{\sqrt{r^{2}+h^{2}}}.
Simplificando os fatores constantes 2\pi/(4\pi)=1/2, obtemos
dV=\frac{\rho_{\mathrm{s}}}{2\varepsilon_{0}}\cdot\frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2}+h^{2}}}.

Passo 5

Somando (integrando) as contribuições dos anéis de r=0 até r=a obtemos o potencial total:
V=\int_{0}^{a} dV =\frac{\rho_{\mathrm{s}}}{2\varepsilon_{0}}\int_{0}^{a}\frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2}+h^{2}}}.
Aqui já vemos a integral que precisamos calcular. Vou explicar passo a passo como resolvê-la.

Passo 6

Cálculo da integral
I=\int_{0}^{a}\frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2}+h^{2}}}.
Usamos a substituição padrão para integrais com r\,dr:
  • Seja u=r^{2}+h^{2}. Então du=2r\,dr, ou seja r\,dr=\tfrac{1}{2}\,du.
    Substituindo:
I=\int_{u(h)}^{u(a)}\frac{1}{2}\frac{du}{\sqrt{u}} =\frac{1}{2}\int_{u(h)}^{u(a)}u^{-1/2}\,du.
Agora integramos u^{-1/2}: a primitiva é 2u^{1/2}. Então
I=\frac{1}{2}\cdot \big[2u^{1/2}\big]_{u(h)}^{u(a)}=[u^{1/2}]_{u(h)}^{u(a)} =\sqrt{r^{2}+h^{2}}\Big|_{r=0}^{r=a}.
Avaliando os limites:
I=\sqrt{a^{2}+h^{2}}-\sqrt{0^{2}+h^{2}}=\sqrt{a^{2}+h^{2}}-h,
onde usei que \sqrt{h^{2}}=h porque h\ge 0 (distância).

Passo 7

Voltar para a expressão do potencial, substituindo o valor de I:
V=\frac{\rho_{\mathrm{s}}}{2\varepsilon_{0}}\; I =\frac{\rho_{\mathrm{s}}}{2\varepsilon_{0}}\left(\sqrt{a^{2}+h^{2}}-h\right).
Breve verificação física: para a\to 0 (disco pequeno) a expressão aproximada coincide com o potencial de uma carga pontual Q=\rho_{\mathrm{s}}\pi a^{2} a distância h. Para h\to\infty o potencial tende a zero, consistente com a referência V(\infty)=0.

Resposta

V=\frac{\rho_{\mathrm{s}}}{2\varepsilon_{0}}\left[\left(h^{2}+a^{2}\right)^{1/2}-h\right]

Exercícios relacionados