-37 Uma placa metálica quadrada de
de lado e espessura insignificante possui uma carga total de
. (a) Estime o módulo
do campo elétrico perto do centro da placa (a
do centro, por exemplo) supondo que a carga está distribuída uniformemente pelas duas faces da placa. (b) Estime
a 30 m de distância (uma distância grande, em comparação com as dimensões da placa) supondo que a placa é uma carga pontual.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Lado da placa:
. - Espessura insignificante (placa muito fina).
- Carga total:
. - A carga está distribuída uniformemente pelas duas faces da placa (ou seja, metade da carga em cada face, distribuída uniformemente sobre a área de cada face).
- Lado da placa:
- Pedidos:
- (a) Estimar o módulo do campo elétrico
perto do centro da placa, por exemplo a do centro. - (b) Estimar
a de distância, tratando a placa como carga pontual (distância muito maior que as dimensões da placa).
- (a) Estimar o módulo do campo elétrico
Passo 2
Calcular a área da placa e a densidade superficial de carga em cada face.
- Área da placa:
- Como a carga total
está igualmente distribuída entre as duas faces, a densidade superficial em cada face (chamo de ) é
Substituindo valores:
Passo 3
Relembrando (e provando) a fórmula para o campo elétrico de uma lâmina infinita uniformemente carregada — uso de Gauss:
- Para uma folha infinita com densidade superficial
, por simetria o campo tem módulo constante e normal à folha. Pegue uma caixa gaussiana (um “pílula”) atravessando a folha; o fluxo elétrico atravessa as duas tampas da pílula e vale (onde é a área de cada tampa). Pela Lei de Gauss,
Cancelando
,
- No caso de uma placa condutora muito fina com carga em ambas as faces (cada face com densidade
), o campo fora da placa, próximo à superfície, é soma dos campos das duas folhas próximas, o que dá
Também pode ser visto pela propriedade do condutor (campo dentro é zero), e pela condição de contorno
para a superfície do condutor.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao caso (a): campo perto do centro a
.
- Justificativa da aproximação: a distância
é muito pequena comparada à semi‑largura da placa ( ), então, perto do centro, os efeitos de borda são desprezíveis e a placa parece localmente uma folha infinita. Portanto usamos . - Constante dielétrica do vácuo:
. - Então
Calculemos:
(Arredondei compatível com os dados dados; cálculo direto:
.)
Passo 5
Explicar e aplicar a aproximação para (b): placa vista como carga pontual a grande distância.
- Quando a distância
até a placa é muito maior que as dimensões da placa (aqui vs. ), o campo à distância se aproxima do campo de uma carga pontual localizada no centro da placa. - O campo de uma carga pontual é dado por
A constante
.
- Substituindo
e :
Calculemos passo a passo:
Passo 6
Breve verificação de consistência e interpretação física (motivação para a prova):
- Resultado (a) é muito grande (
) porque estamos muito perto de uma superfície carregada: campos próximos a superfícies carregadas podem ser enormes. - Resultado (b) é pequeno (
) porque a mesma carga, vista de longe, tem campo que decai como . - Nas provas, lembre-se: para regiões próximas comparadas às dimensões de uma distribuição superficial, usar aproximação de folha infinita (Gauss) é muito útil; para distâncias bem maiores que a distribuição, tratar como carga pontual com
.
Resposta
(a)
(b)