• 27 Um fio reto longo possui cargas negativas fixas com uma densidade linear de 3,6 \mathrm{nC} / \mathrm{m}. O fio é envolvido por uma casca coaxial cilíndrica, não condutora, de paredes finas, com 1,5 \mathrm{~cm} de raio. A casca possui uma carga positiva na superfície externa, com uma densidade superficial \sigma, que anula o campo elétrico do lado de fora da casca. Determine o valor de \sigma.

Passo 1

O enunciado dá um fio retilíneo longo com cargas negativas fixas cuja densidade linear é \lambda_{\text{fio}}=3,6\\ \mathrm{nC/m} (note que são negativas, então \lambda_{\text{fio}}=-3,6\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}). O fio está envolvido por uma casca cilíndrica não condutora, de paredes finas, com raio R=1,5\\ \mathrm{cm}=0,015\\ \mathrm{m}. A casca possui uma carga positiva concentrada na superfície externa, com densidade superficial \sigma. A condição imposta é que o campo elétrico do lado de fora da casca seja nulo.
O que o problema pede: determinar o valor de \sigma.
Informações relevantes:
  • \lambda_{\text{fio}} = -3,6\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
  • R = 0,015\\ \mathrm{m}.
  • A casca é fina e isolante, então a carga que ela possui está na superfície externa e podemos relacionar a carga por unidade de comprimento da casca a \sigma por \lambda_{\text{casca}}=\sigma\cdot(2\pi R).
  • Condição: campo elétrico fora da casca é zero.

Passo 2

Princípio físico a usar: Lei de Gauss. Vou explicar de forma direta e didática.
A Lei de Gauss diz que, para qualquer superfície fechada,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo elétrico através da superfície, Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da superfície e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Para problemas com simetria cilíndrica (fio longo e casca coaxial), escolhe-se uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial. Se o campo elétrico no exterior da casca é zero em toda a região externa, o fluxo pela superfície gaussiana externa é zero, então a carga total encoberta por essa superfície deve ser zero:
Q_{\text{enc}}=0.
Sempre que o problema exigir que o campo fora de uma estrutura seja nulo, uma interpretação prática é: a carga total (por unidade de comprimento, no caso de simetria infinita) contida dentro da superfície deve somar zero.

Passo 3

Aplicando a ideia de cargas por unidade de comprimento (porque o sistema é infinito em z, melhor trabalhar com cargas lineares): a carga por unidade de comprimento total dentro de uma seção é
\lambda_{\text{total}}=\lambda_{\text{fio}}+\lambda_{\text{casca}}.
Para que o campo fora da casca seja nulo precisamos de
\lambda_{\text{total}}=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda_{\text{casca} }=-\lambda_{\text{fio}}.
Agora relacionar \lambda_{\text{casca}} com a densidade superficial \sigma. A casca é fina e a carga está na superfície externa, então a carga por unidade de comprimento fornecida pela casca vale a densidade superficial multiplicada pela circunferência:
\lambda_{\text{casca}}=\sigma\cdot(2\pi R).
Juntando as duas relações:
\sigma\cdot(2\pi R)=-\lambda_{\text{fio}}.

Passo 4

Isolando \sigma:
\sigma=\frac{-\lambda_{\text{fio}}}{2\pi R}.
Substituindo os valores (atenção ao sinal de \lambda_{\text{fio}}): \lambda_{\text{fio}}=-3,6\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m} e R=0,015\\ \mathrm{m}. Assim
\sigma=\frac{-(-3,6\times10^{-9})}{2\pi\cdot0,015} =\frac{3,6\times10^{-9}}{2\pi\cdot0,015}.
Calculemos o denominador aproximado:
2\pi\cdot0,015\approx0,0942478\\ \mathrm{m}.
Logo
\sigma\approx\frac{3,6\times10^{-9}}{0,0942478}\approx3,82\times10^{-8}\\ \mathrm{C/m^{2}}.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida: o resultado é positivo, como esperado (a casca precisa ter carga positiva para neutralizar a carga negativa do fio). A ordem de grandeza faz sentido: uma densidade linear de poucos nanocoulombs por metro distribuída numa circunferência pequena produz uma densidade superficial da ordem de 10^{-8}\\ \mathrm{C/m^2}.

Resposta

\sigma\approx3,82\times10^{-8}\\ \mathrm{C/m^{2}}

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