- 27 Um fio reto longo possui cargas negativas fixas com uma densidade linear de
. O fio é envolvido por uma casca coaxial cilíndrica, não condutora, de paredes finas, com
de raio. A casca possui uma carga positiva na superfície externa, com uma densidade superficial
, que anula o campo elétrico do lado de fora da casca. Determine o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá um fio retilíneo longo com cargas negativas fixas cuja densidade linear é
(note que são negativas, então
). O fio está envolvido por uma casca cilíndrica não condutora, de paredes finas, com raio
. A casca possui uma carga positiva concentrada na superfície externa, com densidade superficial
. A condição imposta é que o campo elétrico do lado de fora da casca seja nulo.
O que o problema pede: determinar o valor de
.
Informações relevantes:
-
. -
. - A casca é fina e isolante, então a carga que ela possui está na superfície externa e podemos relacionar a carga por unidade de comprimento da casca a
por . - Condição: campo elétrico fora da casca é zero.
Passo 2
Princípio físico a usar: Lei de Gauss. Vou explicar de forma direta e didática.
A Lei de Gauss diz que, para qualquer superfície fechada,
onde
é o fluxo elétrico através da superfície,
é a carga total dentro da superfície e
é a permissividade do vácuo. Para problemas com simetria cilíndrica (fio longo e casca coaxial), escolhe-se uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial. Se o campo elétrico no exterior da casca é zero em toda a região externa, o fluxo pela superfície gaussiana externa é zero, então a carga total encoberta por essa superfície deve ser zero:
Sempre que o problema exigir que o campo fora de uma estrutura seja nulo, uma interpretação prática é: a carga total (por unidade de comprimento, no caso de simetria infinita) contida dentro da superfície deve somar zero.
Passo 3
Aplicando a ideia de cargas por unidade de comprimento (porque o sistema é infinito em
, melhor trabalhar com cargas lineares): a carga por unidade de comprimento total dentro de uma seção é
Para que o campo fora da casca seja nulo precisamos de
Agora relacionar
com a densidade superficial
. A casca é fina e a carga está na superfície externa, então a carga por unidade de comprimento fornecida pela casca vale a densidade superficial multiplicada pela circunferência:
Juntando as duas relações:
Passo 4
Isolando
:
Substituindo os valores (atenção ao sinal de
):
e
. Assim
Calculemos o denominador aproximado:
Logo
Passo 5
Interpretação e checagem rápida: o resultado é positivo, como esperado (a casca precisa ter carga positiva para neutralizar a carga negativa do fio). A ordem de grandeza faz sentido: uma densidade linear de poucos nanocoulombs por metro distribuída numa circunferência pequena produz uma densidade superficial da ordem de
.