1.38* Você deita uma caixa retangular sobre um piso horizontal e em seguida inclina-a sobre uma das arestas até que esta forme um ângulo
com a horizontal. Escolha a origem em um dos dois vértices que está em contato com o piso, o eixo
apontando ao longo da aresta da caixa que está em contato com o piso, o eixo
apontando para cima na direção da inclinação e o eixo z normal à caixa. Agora, você chuta um objeto sem atrito que está em repouso em
de modo que ele navega sobre a caixa com velocidade inicial (
). Escreva a segunda lei de Newton usando as coordenadas dadas e, em seguida, determine quanto tempo o objeto leva para retornar ao nível do piso e qual a distância que ele está de
quando retorna.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- A caixa está inclinada formando um ângulo
com a horizontal. - Escolhemos a origem em
, um vértice da caixa que está em contato com o piso. - Os eixos são:
ao longo da aresta da caixa em contato com o piso (horizontal na direção da aresta), para cima ao longo da inclinação (ou seja, sobe pela superfície inclinada), normal à superfície da caixa (para fora da superfície). - Um objeto sem atrito é chutado em
com velocidade inicial . Ou seja, componentes iniciais: ao longo de é , ao longo de é e em é zero. - Não há atrito; as únicas forças são o peso
(vertical para baixo) e a força normal da superfície. - O que se pede:
- Escrever a segunda lei de Newton nas coordenadas dadas.
- Determinar quanto tempo o objeto demora para retornar ao nível do piso (isto é, quando
novamente, além de ) e a que distância de ele está quando retorna.
Passo 2
Entendendo as forças e como decompor o peso nas direções dos eixos escolhidos.
- A força peso vale
apontando verticalmente para baixo (módulo ). - Como o eixo
está ao longo da inclinação (subindo a rampa) e o eixo é normal à superfície, podemos decompor a aceleração da gravidade (ou seja, o vetor ) nas componentes paralela e perpendicular à superfície: - A componente paralela à superfície (no sentido que empurra o corpo escorregando morro abaixo) tem módulo
e aponta no sentido negativo de (para baixo ao longo da rampa). - A componente perpendicular à superfície tem módulo
e aponta para dentro da superfície (no sentido negativo de ).
- A componente paralela à superfície (no sentido que empurra o corpo escorregando morro abaixo) tem módulo
- Essa decomposição vem da trigonometria simples de um triângulo retângulo: a inclinação faz com que a componente paralela seja
e a perpendicular . Se precisar, imagine a vertical projetada sobre os eixos local: o cateto sobre a rampa é , o cateto perpendicular é .
Passo 3
Escrevendo a Segunda Lei de Newton nas três direções
.
- Forças no eixo
: não existe força nessa direção (sem atrito e sem outras forças aplicadas), logo
- Forças no eixo
(paralela à rampa): a única força tangencial é a componente do peso para baixo ao longo da rampa, que vale . Assim
- Forças no eixo
(normal à superfície): temos a força normal apontando para fora ( ) e a componente do peso . Portanto
- Enquanto o objeto permanece em contato com a superfície, a restrição impõe
, de modo que a força normal ajusta-se para cancelar a componente normal do peso:
- Resumo das equações de movimento enquanto o corpo está em contato com a superfície:
Passo 4
Transformando as equações de segunda lei em equações cinemáticas integradas (velocidades e posições).
- Acelerações constantes nas direções
e : -
e
-
- Integrando em tempo com as condições iniciais
: - Velocidades:
- Posições:
- Observação: o eixo
permanece em enquanto o corpo está em contato (nenhum movimento normal).
Passo 5
Determinar o tempo em que o objeto retorna ao nível do piso (
).
- Colocamos a equação de
igual a zero:
- Fatorando
:
- As soluções são
(o instante inicial) e a outra raiz obtida resolvendo , ou seja
- Tomamos a segunda raiz (o tempo positivo após o chute). Observação prática: se
a interpretação muda (não há subida), mas aqui assumimos o caso típico para ter um retorno em tempo positivo não nulo.
Passo 6
Determinar a distância do ponto
quando o objeto retorna.
- Quando o corpo retorna ao piso temos
e . A coordenada nesse instante vale
- Substituindo
obtemos
- Como no instante de retorno
e , a distância do ponto até a posição do objeto é simplesmente . Assim a distância (com sinal positivo) é .