1.34*** Mostre que, na ausência de forças externas, o momento angular total (definido como
) de uma sistema com
partículas é conservado. [Sugestōes: você necessitará replicar o argumento de (1.25) a (1.29). Nesse caso, você necessitará mais do que da terceira lei de Newton: você precisa assumir que as forças interpartículas são centrais, isto é,
age ao longo da linha que une as partículas
e
. Uma discussão completa do momento angular é dada no Capítulo 3.]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na ausência de forças externas, o momento angular total de um sistema de
partículas é conservado. Dados e definições que o enunciado fornece (ou que precisamos explicitar):
- O momento angular total é dado por
. - A quantidade de movimento de cada partícula é
, onde é a massa e a velocidade da partícula . - As forças sobre cada partícula podem ser decompostas em forças externas e forças internas (interpartículas). Escrevemos
onde é a força exercida sobre a partícula pela partícula . - Devemos assumir que não há forças externas:
para todo . - Além da terceira lei de Newton (forças de ação e reação iguais e opostas), precisamos da hipótese adicional: as forças interpartículas são centrais, i.e.,
age ao longo da linha que une e . Em termos vetoriais isso significa que é paralelo a .
O objetivo final é provar que
é constante no tempo, isto é,
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada temporal do momento angular total. Primeiro recorde a regra de derivação do produto vetorial: para vetores
e
,
Aplicando isso a cada termo
temos
Aqui
e
(segunda lei de Newton). Note também que
, portanto
pois o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero.
Passo 3
Agora somamos sobre todas as partículas para obter a derivada de
:
Pelo argumento do passo anterior
para todo
. Logo
Passo 4
Substituímos a decomposição das forças em externas e internas. Como não há forças externas (
), resta apenas a contribuição das forças interpartículas:
Note que a soma dupla percorre todos os pares ordenados
com
.
Passo 5
Reescrevemos a soma dupla de forma que possamos agrupar termos em pares
e
. Para cada par distinto
(com
) consideramos a contribuição
Pela terceira lei de Newton (ação e reação),
Substituindo,
Passo 6
Agora usamos a hipótese de forças centrais:
é paralelo a
. Um fato importante sobre o produto vetorial é que dois vetores paralelos têm produto vetorial nulo. Assim, para cada par
temos
Portanto a soma da contribuição do par
é zero. Como isso vale para todo par, a soma dupla inteira se anula:
Passo 7
Como consequência direta, voltando à expressão de
,
Isto significa que o momento angular total
é constante no tempo (vetor constante), ou seja, é conservado.