1.34*** Mostre que, na ausência de forças externas, o momento angular total (definido como \mathbf{L}=\sum_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \times \mathbf{p}_{\alpha} ) de uma sistema com N partículas é conservado. [Sugestōes: você necessitará replicar o argumento de (1.25) a (1.29). Nesse caso, você necessitará mais do que da terceira lei de Newton: você precisa assumir que as forças interpartículas são centrais, isto é, \mathbf{F}_{\alpha \beta} age ao longo da linha que une as partículas \alpha e \beta. Uma discussão completa do momento angular é dada no Capítulo 3.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na ausência de forças externas, o momento angular total de um sistema de N partículas é conservado. Dados e definições que o enunciado fornece (ou que precisamos explicitar):
  • O momento angular total é dado por \displaystyle \mathbf{L}=\sum_{\alpha=1}^{N}\mathbf{r}_{\alpha}\times\mathbf{p}_{\alpha}.
  • A quantidade de movimento de cada partícula é \displaystyle \mathbf{p}_{\alpha}=m_{\alpha}\mathbf{v}_{\alpha}, onde m_{\alpha} é a massa e \mathbf{v}_{\alpha} a velocidade da partícula \alpha.
  • As forças sobre cada partícula podem ser decompostas em forças externas e forças internas (interpartículas). Escrevemos \mathbf{F}_{\alpha}=\mathbf{F}_{\alpha}^{\text{(ext)}}+\sum_{\beta\neq\alpha}\mathbf{F}_{\alpha\beta},onde \mathbf{F}_{\alpha\beta} é a força exercida sobre a partícula \alpha pela partícula \beta.
  • Devemos assumir que não há forças externas: \mathbf{F}_{\alpha}^{\text{(ext)}}=\mathbf{0} para todo \alpha.
  • Além da terceira lei de Newton (forças de ação e reação iguais e opostas), precisamos da hipótese adicional: as forças interpartículas são centrais, i.e., \mathbf{F}_{\alpha\beta} age ao longo da linha que une \alpha e \beta. Em termos vetoriais isso significa que \mathbf{F}_{\alpha\beta} é paralelo a \mathbf{r}_{\alpha}-\mathbf{r}_{\beta}.
O objetivo final é provar que \mathbf{L} é constante no tempo, isto é, \dfrac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{0}.

Passo 2

Vamos calcular a derivada temporal do momento angular total. Primeiro recorde a regra de derivação do produto vetorial: para vetores \mathbf{a}(t) e \mathbf{b}(t),
\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\bigr)=\frac{d\mathbf{a}}{dt}\times\mathbf{b}+\mathbf{a}\times\frac{d\mathbf{b}}{dt}.
Aplicando isso a cada termo \mathbf{r}_{\alpha}\times\mathbf{p}_{\alpha} temos
\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{r}_{\alpha}\times\mathbf{p}_{\alpha}\bigr)=\dot{\mathbf{r}}_{\alpha}\times\mathbf{p}_{\alpha}+\mathbf{r}_{\alpha}\times\dot{\mathbf{p}}_{\alpha}.
Aqui \dot{\mathbf{r}}_{\alpha}=\mathbf{v}_{\alpha} e \dot{\mathbf{p}}_{\alpha}=\mathbf{F}_{\alpha} (segunda lei de Newton). Note também que \mathbf{p}_{\alpha}=m_{\alpha}\mathbf{v}_{\alpha}, portanto
\mathbf{v}_{\alpha}\times\mathbf{p}_{\alpha}= \mathbf{v}_{\alpha}\times(m_{\alpha}\mathbf{v}_{\alpha})=m_{\alpha}(\mathbf{v}_{\alpha}\times\mathbf{v}_{\alpha})=\mathbf{0},
pois o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero.

Passo 3

Agora somamos sobre todas as partículas para obter a derivada de \mathbf{L}:
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\sum_{\alpha=1}^{N}\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{r}_{\alpha}\times\mathbf{p}_{\alpha}\bigr) =\sum_{\alpha=1}^{N}\bigl(\mathbf{v}_{\alpha}\times\mathbf{p}_{\alpha}+\mathbf{r}_{\alpha}\times\mathbf{F}_{\alpha}\bigr).
Pelo argumento do passo anterior \mathbf{v}_{\alpha}\times\mathbf{p}_{\alpha}=\mathbf{0} para todo \alpha. Logo
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\sum_{\alpha=1}^{N}\mathbf{r}_{\alpha}\times\mathbf{F}_{\alpha}.

Passo 4

Substituímos a decomposição das forças em externas e internas. Como não há forças externas ( \mathbf{F}_{\alpha}^{\text{(ext)}}=\mathbf{0}), resta apenas a contribuição das forças interpartículas:
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\sum_{\alpha=1}^{N}\mathbf{r}_{\alpha}\times\Biggl(\sum_{\beta\neq\alpha}\mathbf{F}_{\alpha\beta}\Biggr) =\sum_{\alpha=1}^{N}\sum_{\beta\neq\alpha}\mathbf{r}_{\alpha}\times\mathbf{F}_{\alpha\beta}.
Note que a soma dupla percorre todos os pares ordenados (\alpha,\beta) com \alpha\neq\beta.

Passo 5

Reescrevemos a soma dupla de forma que possamos agrupar termos em pares (\alpha,\beta) e (\beta,\alpha). Para cada par distinto \{\alpha,\beta\} (com \alpha\neq\beta) consideramos a contribuição
\mathbf{r}_{\alpha}\times\mathbf{F}_{\alpha\beta}+\mathbf{r}_{\beta}\times\mathbf{F}_{\beta\alpha}.
Pela terceira lei de Newton (ação e reação),
\mathbf{F}_{\beta\alpha}=-\mathbf{F}_{\alpha\beta}.
Substituindo,
\mathbf{r}_{\alpha}\times\mathbf{F}_{\alpha\beta}+\mathbf{r}_{\beta}\times\mathbf{F}_{\beta\alpha} =\mathbf{r}_{\alpha}\times\mathbf{F}_{\alpha\beta}-\mathbf{r}_{\beta}\times\mathbf{F}_{\alpha\beta} =(\mathbf{r}_{\alpha}-\mathbf{r}_{\beta})\times\mathbf{F}_{\alpha\beta}.

Passo 6

Agora usamos a hipótese de forças centrais: \mathbf{F}_{\alpha\beta} é paralelo a \mathbf{r}_{\alpha}-\mathbf{r}_{\beta}. Um fato importante sobre o produto vetorial é que dois vetores paralelos têm produto vetorial nulo. Assim, para cada par \{\alpha,\beta\} temos
(\mathbf{r}_{\alpha}-\mathbf{r}_{\beta})\times\mathbf{F}_{\alpha\beta}=\mathbf{0}.
Portanto a soma da contribuição do par \{\alpha,\beta\} é zero. Como isso vale para todo par, a soma dupla inteira se anula:
\sum_{\alpha=1}^{N}\sum_{\beta\neq\alpha}\mathbf{r}_{\alpha}\times\mathbf{F}_{\alpha\beta}=\mathbf{0}.

Passo 7

Como consequência direta, voltando à expressão de \dfrac{d\mathbf{L}}{dt},
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{0}.
Isto significa que o momento angular total \mathbf{L} é constante no tempo (vetor constante), ou seja, é conservado.

Resposta

\displaystyle \frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{0}, portanto \mathbf{L}=\text{constante}.

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