1.42* Mostre que as transformações de coordenadas retangulares para coordenadas polares, e vice-versa, são dadas pelas quatro equações (1.37). Explique por que a equação para
não está completa e forneça uma versão completa.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar as fórmulas de mudança entre coordenadas retangulares
e coordenadas polares
, isto é, as quatro equações (1.37). Além disso, explicar por que a fórmula usual para
(aquela com
) não está completa e dar uma versão completa e correta dela.
Informações dadas (implícitas na definição de coordenadas polares):
é a distância do ponto à origem (assumimos
);
é o ângulo medido a partir do eixo positivo
até o raio que liga a origem ao ponto, medido no sentido anti-horário; o par
corresponde ao ponto com coordenadas retangulares
.
Passo 2
Derivando as equações de
para
.
Imagine o triângulo retângulo formado pelo ponto , a projeção desse ponto no eixo
e a origem. Pela definição trigonométrica num triângulo retângulo:
Imagine o triângulo retângulo formado pelo ponto
Multiplicando ambos os lados por
obtemos as duas fórmulas diretas:
Essas duas já são duas das quatro equações pedidas.
Passo 3
Derivando a equação para
a partir de
.
Pelo teorema de Pitágoras no mesmo triângulo retângulo, a distância da origem ao ponto é
Pelo teorema de Pitágoras no mesmo triângulo retângulo, a distância da origem ao ponto é
Aqui é importante lembrar que tomamos a raiz não-negativa porque
é definido como distância (
). Essa é a terceira equação.
Passo 4
Derivando a fórmula usual para
(por que aparece
).
Se podemos dividir as expressões
e
para eliminar
:
Se
Então, formalmente,
Essa é a forma que muitos memorizam — e é a quarta equação na forma simples —, mas atenção: aqui reside a incompletude.
Passo 5
Por que a fórmula
não está completa.
A função padrão (a inversa da tangente que se costuma usar) retorna valores num intervalo restrito, normalmente
. Porém o ângulo polar
pode assumir qualquer valor módulo
e os pontos nos quadrantes II e III exigem ângulos com valores em
. Como
é periódico com período
, saber
(ou seja,
) não distingue entre
e
. Em termos práticos: apenas
não dá informação sobre o sinal de
(e, indiretamente, sobre o quadrante), portanto pode dar um ângulo que aponta para o quadrante errado.
A função
Além disso, quando
a razão
é indefinida e não dá
diretamente.
Passo 6
Versão completa (peça por peça) para
Explicação rápida: quando
dá um valor de
já no quadrante correto; quando
somamos
para deslocar o ângulo para os quadrantes II ou III; para
tratamos o caso vertical separadamente; no ponto origem
o ângulo é indefinido porque qualquer direção tem mesma distância zero.
Uma alternativa compacta, prática e muito usada em programação e análise numérica é a função
, que é justamente uma variante da arcotangente que leva em conta os sinais de
e
e devolve o ângulo no intervalo apropriado:
com
tipicamente em
ou
dependendo da implementação; e
é indefinida.]
Passo 7
Verificação rápida (substituição para checar consistência) e observações finais.
- Se pegarmos
e e calcularmos retornamos ao mesmo (consistência). - Se usarmos a fórmula por partes para
e a aplicarmos em pontos de cada quadrante, veremos que o valor obtido corresponde ao ângulo geométrico correto. - Lembre-se:
é definido apenas até uma adição de (ou seja, e representam a mesma direção). - Em provas, é suficiente dar as três relações
, , e explicar a ambiguidade da indicando a versão por partes ou mencionando .
Resposta
ou de forma compacta
indefinida).]