1.42* Mostre que as transformações de coordenadas retangulares para coordenadas polares, e vice-versa, são dadas pelas quatro equações (1.37). Explique por que a equação para \varphi não está completa e forneça uma versão completa.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar as fórmulas de mudança entre coordenadas retangulares (x,y) e coordenadas polares (r,\varphi), isto é, as quatro equações (1.37). Além disso, explicar por que a fórmula usual para \varphi (aquela com \arctan) não está completa e dar uma versão completa e correta dela.
Informações dadas (implícitas na definição de coordenadas polares):
\;r é a distância do ponto à origem (assumimos \;r\ge 0); \varphi é o ângulo medido a partir do eixo positivo x até o raio que liga a origem ao ponto, medido no sentido anti-horário; o par (r,\varphi) corresponde ao ponto com coordenadas retangulares (x,y).

Passo 2

Derivando as equações de (r,\varphi) para (x,y).
Imagine o triângulo retângulo formado pelo ponto (x,y), a projeção desse ponto no eixo x e a origem. Pela definição trigonométrica num triângulo retângulo:
\cos\varphi=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{x}{r}, \qquad \sin\varphi=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{y}{r}.
Multiplicando ambos os lados por r obtemos as duas fórmulas diretas:
x=r\cos\varphi, \qquad y=r\sin\varphi.
Essas duas já são duas das quatro equações pedidas.

Passo 3

Derivando a equação para r a partir de (x,y).
Pelo teorema de Pitágoras no mesmo triângulo retângulo, a distância da origem ao ponto é
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui é importante lembrar que tomamos a raiz não-negativa porque r é definido como distância ( r\ge 0). Essa é a terceira equação.

Passo 4

Derivando a fórmula usual para \varphi (por que aparece \arctan).
Se r\neq 0 podemos dividir as expressões x=r\cos\varphi e y=r\sin\varphi para eliminar r:
\frac{y}{x}=\frac{r\sin\varphi}{r\cos\varphi}=\tan\varphi.
Então, formalmente,
\varphi=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right).
Essa é a forma que muitos memorizam — e é a quarta equação na forma simples —, mas atenção: aqui reside a incompletude.

Passo 5

Por que a fórmula \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) não está completa.
A função \arctan padrão (a inversa da tangente que se costuma usar) retorna valores num intervalo restrito, normalmente \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Porém o ângulo polar \varphi pode assumir qualquer valor módulo 2\pi e os pontos nos quadrantes II e III exigem ângulos com valores em (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}). Como \tan\varphi é periódico com período \pi, saber \tan\varphi (ou seja, y/x) não distingue entre \varphi e \varphi+\pi. Em termos práticos: apenas \arctan(y/x) não dá informação sobre o sinal de x (e, indiretamente, sobre o quadrante), portanto pode dar um ângulo que aponta para o quadrante errado.
Além disso, quando x=0 a razão y/x é indefinida e não dá \varphi diretamente.

Passo 6

Versão completa (peça por peça) para \varphi\). Uma maneira explícita e segura é definir \(\varphi\) por partes, usando o sinal de \(x\) e \(y\). Uma convenção comum (que produz \(\varphi\) no intervalo \((-\pi,\pi]\) ou em \([0,2\pi)\) com pequenos ajustes) é: \[\varphi= \begin{cases} \displaystyle \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right), & x>0,\\[8pt] \displaystyle \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)+\pi, & x<0,\\[6pt] \displaystyle \dfrac{\pi}{2}, & x=0,\\ y>0,\\[6pt] \displaystyle -\dfrac{\pi}{2}, & x=0,\\ y<0,\\[6pt] \text{indefinido (qualquer }\varphi\text{)}, & x=0,\\ y=0. \end{cases}
Explicação rápida: quando x>0\] a subdivisão por \(x dá um valor de \arctan já no quadrante correto; quando x<0 somamos \pi para deslocar o ângulo para os quadrantes II ou III; para x=0 tratamos o caso vertical separadamente; no ponto origem (0,0) o ângulo é indefinido porque qualquer direção tem mesma distância zero.
Uma alternativa compacta, prática e muito usada em programação e análise numérica é a função \operatorname{atan2}(y,x), que é justamente uma variante da arcotangente que leva em conta os sinais de x e y e devolve o ângulo no intervalo apropriado:
\varphi=\operatorname{atan2}(y,x),
com \varphi tipicamente em (-\pi,\pi] ou [0,2\pi) dependendo da implementação; e \operatorname{atan2}(0,0) é indefinida.]

Passo 7

Verificação rápida (substituição para checar consistência) e observações finais.
  • Se pegarmos x=r\cos\varphi e y=r\sin\varphi e calcularmos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} retornamos ao mesmo r (consistência).
  • Se usarmos a fórmula por partes para \varphi e a aplicarmos em pontos de cada quadrante, veremos que o valor obtido corresponde ao ângulo geométrico correto.
  • Lembre-se: \varphi é definido apenas até uma adição de 2\pi (ou seja, \varphi e \varphi+2\pi k representam a mesma direção).
  • Em provas, é suficiente dar as três relações x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e explicar a ambiguidade da \arctan indicando a versão por partes ou mencionando \operatorname{atan2}(y,x).

Resposta

x=r\cos\varphi\) \(y=r\sin\varphi\) \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) \[\varphi= \begin{cases} \displaystyle \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right), & x>0,\\[8pt] \displaystyle \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)+\pi, & x<0,\\[6pt] \displaystyle \dfrac{\pi}{2}, & x=0,\\ y>0,\\[6pt] \displaystyle -\dfrac{\pi}{2}, & x=0,\\ y<0,\\[6pt] \text{indefinido}, & x=0,\\ y=0, \end{cases}
ou de forma compacta \varphi=\operatorname{atan2}(y,x)\] (com \(\operatorname{atan2}(0,0) indefinida).]

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