Utilize uma expansão em coordenadas cartesianas para mostrar que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar G é igual a zero.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, em coordenadas cartesianas, que o rotacional (curl) do gradiente de qualquer campo escalar
é sempre o vetor nulo. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, usando derivadas parciais de segunda ordem e a propriedade de que as derivadas mistas comutam para funções suficientemente suaves (clássicas, de classe
).
Passo 2
Escrevemos primeiro o gradiente de
. Em coordenadas cartesianas,
Passo 3
Em seguida, lembramos a fórmula do rotacional de um campo vetorial
:
Passo 4
Agora substituímos
, ou seja
,
,
. Cada componente do rotacional fica:
Em cada caso usamos que, para
, vale
.
Passo 5
Como todas as três componentes do vetor
são zero, concluímos que