3.39 A plataforma retangular é articula em A e B e suportada por um cabo que passa por um ganho em E sem atrito. Sabendo que a tração no cabo é 1.349 N , determine o momento sobre cada um dos eixos coordenados pela força exercida pelo cabo em C.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • A plataforma retangular está articulada em A e B.
  • Um cabo passa por um gancho (pulley) em E sem atrito.
  • A tração no cabo vale T = 1{,}349\\ \text{N}.
  • Pede-se o momento sobre cada um dos eixos coordenados causado pela força exercida pelo cabo em C.
Informações que NÃO foram fornecidas (são necessárias para obter uma resposta numérica):
  • As coordenadas do ponto C (posição de aplicação da força) no sistema de eixos.
  • As coordenadas do ponto E (posição do gancho/polias) ou, alternativamente, a direção do cabo no ponto C.
  • A posição da origem e a orientação dos eixos coordenados (se não for a origem usual).
    Sem essas informações geométricas (figura com coordenadas ou dimensões), não há dados suficientes para calcular numericamente os momentos pedidos.

Passo 2

Qual método vamos usar (e por quê).
  • O método mais direto e geral para obter o momento de uma força em relação aos eixos coordenados é o método vetorial usando o produto vetorial (momento em relação à origem): \mathbf{M}_O=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
  • Aqui:
    • \mathbf{r} é o vetor posição do ponto de aplicação da força (ponto C) medido a partir da origem O do sistema de eixos: \mathbf{r}=\overrightarrow{OC}.
    • \mathbf{F} é o vetor força aplicado em C (no caso, a tração transmitida pelo cabo).
  • Esse método é o mais adequado porque dá diretamente os três componentes do momento (respectivamente os momentos em torno dos eixos x,y,z) e funciona para qualquer orientação do cabo.
Explicação didática do que é o produto vetorial:
  • Para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}, o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é outro vetor perpendicular aos dois, cujo módulo é \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.
  • No caso do momento, \mathbf{M}_O=\mathbf{r}\times\mathbf{F} tem direção segundo a regra da mão direita e representa o “giro” que a força tende a produzir em relação ao ponto O.

Passo 3

Como construir o vetor força \mathbf{F} a partir da tração T e da geometria do cabo.
  • A força exercida pelo cabo em C tem direção ao longo do cabo (puxa C na direção de E) e módulo igual a T.
  • Se as coordenadas de C e E forem conhecidas, escrevemos os vetores posição:
    • \mathbf{r}_C = \overrightarrow{OC} = (x_C,y_C,z_C).
    • \mathbf{r}_E = \overrightarrow{OE} = (x_E,y_E,z_E).
  • O vetor que indica a direção do cabo, do ponto C para E, é \mathbf{d} = \mathbf{r}_E - \mathbf{r}_C.
  • A versor (vetor unitário) nessa direção é
\hat{u}_{CE}=\frac{\mathbf{d}}{\|\mathbf{d}\|}=\frac{\mathbf{r}_E-\mathbf{r}_C}{\sqrt{(x_E-x_C)^2+(y_E-y_C)^2+(z_E-z_C)^2}}.
  • Portanto o vetor força em C é
\mathbf{F}=T\,\hat{u}_{CE}=T\frac{\mathbf{r}_E-\mathbf{r}_C}{\|\mathbf{r}_E-\mathbf{r}_C\|}.
  • Observação física: a força em C aponta em direção a E (o cabo puxa C para E). Se o problema adotasse o sentido contrário, trocar-se-ia o sinal.

Passo 4

Cálculo do momento em termos das componentes (fórmulas práticas que se aplicam na prova).
  • Escrevendo \mathbf{r}_C=(x_C,y_C,z_C) e \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z), o momento em relação à origem O é
\mathbf{M}_O=\mathbf{r}_C\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ x_C & y_C & z_C \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.
  • Disso obtemos as componentes:
M_x = y_C F_z - z_C F_y,
M_y = z_C F_x - x_C F_z,
M_z = x_C F_y - y_C F_x.
  • Essas componentes correspondem aos momentos (torques) em torno dos eixos x, y e z, respectivamente. Em uma prova, normalmente pedem M_x, M_y, M_z (ou o vetor \mathbf{M}_O).

Passo 5

Procedimento passo a passo que você deve executar na prova (sem calculadora, quando possível):
  1. Ler/pegar do enunciado ou da figura as coordenadas de C e E: x_C,y_C,z_C e x_E,y_E,z_E.
  2. Formar \mathbf{d}=\mathbf{r}_E-\mathbf{r}_C e calcular seu módulo \|\mathbf{d}\|.
  3. Calcular a versor \hat{u}_{CE}=\mathbf{d}/\|\mathbf{d}\|.
  4. Multiplicar por T=1{,}349\\ \text{N} para obter \mathbf{F}=T\hat{u}_{CE}. Isso dá F_x,F_y,F_z.
  5. Calcular M_x, M_y, M_z usando as fórmulas do Passo 4.
  6. Escrever a resposta em unidades de \text{N}\cdot\text{m}, e, se necessário, indicar o sinal (positivo/negativo) e a direção do vetor momento.
Dica de prova: se as coordenadas forem números inteiros ou radicais simples, mantenha frações/raízes até o final para evitar arredondamentos precoces; só apresente aproximação numérica ao final com 2–3 algarismos significativos.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (isto é apenas um exemplo de como aplicar o procedimento; não é a solução do seu exercício porque as coordenadas reais não foram fornecidas).
  • Suponha \mathbf{r}_C=(2,1,0) (m) e \mathbf{r}_E=(0,0,3) (m). Então \mathbf{d}=\mathbf{r}_E-\mathbf{r}_C=(-2,-1,3).
  • O módulo é \|\mathbf{d}\|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14}.
  • A versor é \hat{u}_{CE}=(-2,-1,3)/\sqrt{14}.
  • Com T=1{,}349\\ \text{N} temos
\mathbf{F}=1{,}349\frac{(-2,-1,3)}{\sqrt{14}}\approx(-0{,}7210,\,-0{,}3605,\,1{,}0815)\\ \text{N}.
  • Então o momento em O é
\mathbf{M}_O=\mathbf{r}_C\times\mathbf{F}=(2,1,0)\times(-0{,}7210,-0{,}3605,1{,}0815)\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}.
  • Calculando componentes:
M_x = 1\cdot 1{,}0815 - 0\cdot(-0{,}3605)=1{,}0815\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m},
M_y = 0\cdot(-0{,}7210) - 2\cdot 1{,}0815=-2{,}1630\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m},
M_z = 2\cdot(-0{,}3605) - 1\cdot(-0{,}7210)=0{,}0000\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}.
  • Resultado do exemplo: \mathbf{M}_O\approx(1{,}0815,\,-2{,}1630,\,0{,}0000)\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}.
  • Observação: este exemplo serve para praticar os passos; os valores reais dependem das coordenadas reais do problema.

Passo 7

Conclusão específica para o enunciado recebido:
  • Não é possível calcular numericamente os momentos pedidos porque a posição do ponto C (e a geometria/direção do cabo via E) não foram fornecidas no enunciado enviado.
  • Acima foi dado o método completo, as fórmulas e um exemplo prático que mostra exatamente o que fazer quando as coordenadas/figura estiverem disponíveis. Isso permite que, na prova, assim que tiver as coordenadas, você aplique rapidamente os passos e obtenha M_x, M_y, M_z.

Resposta

Não é possível determinar numericamente os momentos porque as coordenadas/geométrica necessárias (posição de C, posição de E ou a figura com dimensões e a origem do sistema de eixos) não foram fornecidas.

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