3.39 A plataforma retangular é articula em A e B e suportada por um cabo que passa por um ganho em E sem atrito. Sabendo que a tração no cabo é 1.349 N , determine o momento sobre cada um dos eixos coordenados pela força exercida pelo cabo em C.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
A plataforma retangular está articulada em A e B.
Um cabo passa por um gancho (pulley) em E sem atrito.
A tração no cabo vale T = 1{,}349\\ \text{N}.
Pede-se o momento sobre cada um dos eixos coordenados causado pela força exercida pelo cabo em C.
Informações que NÃO foram fornecidas (são necessárias para obter uma resposta numérica):
As coordenadas do ponto C (posição de aplicação da força) no sistema de eixos.
As coordenadas do ponto E (posição do gancho/polias) ou, alternativamente, a direção do cabo no ponto C.
A posição da origem e a orientação dos eixos coordenados (se não for a origem usual).
Sem essas informações geométricas (figura com coordenadas ou dimensões), não há dados suficientes para calcular numericamente os momentos pedidos.
Passo 2
Qual método vamos usar (e por quê).
O método mais direto e geral para obter o momento de uma força em relação aos eixos coordenados é o método vetorial usando o produto vetorial (momento em relação à origem): \mathbf{M}_O=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
Aqui:
\mathbf{r} é o vetor posição do ponto de aplicação da força (ponto C) medido a partir da origem O do sistema de eixos: \mathbf{r}=\overrightarrow{OC}.
\mathbf{F} é o vetor força aplicado em C (no caso, a tração transmitida pelo cabo).
Esse método é o mais adequado porque dá diretamente os três componentes do momento (respectivamente os momentos em torno dos eixos x,y,z) e funciona para qualquer orientação do cabo.
Explicação didática do que é o produto vetorial:
Para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}, o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é outro vetor perpendicular aos dois, cujo módulo é \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.
No caso do momento, \mathbf{M}_O=\mathbf{r}\times\mathbf{F} tem direção segundo a regra da mão direita e representa o “giro” que a força tende a produzir em relação ao ponto O.
Passo 3
Como construir o vetor força \mathbf{F} a partir da tração T e da geometria do cabo.
A força exercida pelo cabo em C tem direção ao longo do cabo (puxa C na direção de E) e módulo igual a T.
Se as coordenadas de C e E forem conhecidas, escrevemos os vetores posição:
Essas componentes correspondem aos momentos (torques) em torno dos eixos x, y e z, respectivamente. Em uma prova, normalmente pedem M_x, M_y, M_z (ou o vetor \mathbf{M}_O).
Passo 5
Procedimento passo a passo que você deve executar na prova (sem calculadora, quando possível):
Ler/pegar do enunciado ou da figura as coordenadas de C e E: x_C,y_C,z_C e x_E,y_E,z_E.
Formar \mathbf{d}=\mathbf{r}_E-\mathbf{r}_C e calcular seu módulo \|\mathbf{d}\|.
Calcular a versor \hat{u}_{CE}=\mathbf{d}/\|\mathbf{d}\|.
Multiplicar por T=1{,}349\\ \text{N} para obter \mathbf{F}=T\hat{u}_{CE}. Isso dá F_x,F_y,F_z.
Calcular M_x, M_y, M_z usando as fórmulas do Passo 4.
Escrever a resposta em unidades de \text{N}\cdot\text{m}, e, se necessário, indicar o sinal (positivo/negativo) e a direção do vetor momento.
Dica de prova: se as coordenadas forem números inteiros ou radicais simples, mantenha frações/raízes até o final para evitar arredondamentos precoces; só apresente aproximação numérica ao final com 2–3 algarismos significativos.
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (isto é apenas um exemplo de como aplicar o procedimento; não é a solução do seu exercício porque as coordenadas reais não foram fornecidas).
Suponha \mathbf{r}_C=(2,1,0) (m) e \mathbf{r}_E=(0,0,3) (m). Então \mathbf{d}=\mathbf{r}_E-\mathbf{r}_C=(-2,-1,3).
O módulo é \|\mathbf{d}\|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14}.
Resultado do exemplo: \mathbf{M}_O\approx(1{,}0815,\,-2{,}1630,\,0{,}0000)\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}.
Observação: este exemplo serve para praticar os passos; os valores reais dependem das coordenadas reais do problema.
Passo 7
Conclusão específica para o enunciado recebido:
Não é possível calcular numericamente os momentos pedidos porque a posição do ponto C (e a geometria/direção do cabo via E) não foram fornecidas no enunciado enviado.
Acima foi dado o método completo, as fórmulas e um exemplo prático que mostra exatamente o que fazer quando as coordenadas/figura estiverem disponíveis. Isso permite que, na prova, assim que tiver as coordenadas, você aplique rapidamente os passos e obtenha M_x, M_y, M_z.
Resposta
Não é possível determinar numericamente os momentos porque as coordenadas/geométrica necessárias (posição de C, posição de E ou a figura com dimensões e a origem do sistema de eixos) não foram fornecidas.