5- O seguinte critério de escoamento foi proposto para um material isotrópico: “O escoamento ocorrerá quando a soma dos diâmetros dos círculos maior e segundo maior de Mohr atingir um valor crítico”. Definindo \sigma_{1} \geqslant \sigma_{2} \geqslant \sigma_{3}, isso pode ser expresso matematicamente como:
Quando \left(\sigma_{1}-\sigma_{2}\right) \geq\left(\sigma_{2}-\sigma_{3}\right),\left(\sigma_{1}-\sigma_{2}\right)+\left(\sigma_{1}-\sigma_{3}\right)=C
Avalie C em termos da tensão de escoamento, Y , em um ensaio de tração uniaxial.

Passo 1

O enunciado dá um critério de escoamento para um material isotrópico expresso com os autovalores principais das tensões ordenados \sigma_{1}\geqslant\sigma_{2}\geqslant\sigma_{3}. O critério, no caso em que \left(\sigma_{1}-\sigma_{2}\right)\geq\left(\sigma_{2}-\sigma_{3}\right), é dado por
\left(\sigma_{1}-\sigma_{2}\right)+\left(\sigma_{1}-\sigma_{3}\right)=C.
A pergunta pede: determinar C em termos da tensão de escoamento em um ensaio de tração uniaxial, que chamamos de Y.
Informações relevantes fornecidas:
  • Ordenação das tensões principais: \sigma_{1}\geqslant\sigma_{2}\geqslant\sigma_{3}.
  • A fórmula do critério para o caso especificado: \left(\sigma_{1}-\sigma_{2}\right)+\left(\sigma_{1}-\sigma_{3}\right)=C.
  • No ensaio de tração uniaxial a tensão de escoamento medida é Y (tensão aplicada no eixo de tração).

Passo 2

Entendendo o que são os termos \sigma_{i}-\sigma_{j}: esses termos representam os diâmetros (ou comprimentos dos diâmetros horizontais) dos círculos de Mohr correspondentes aos pares de tensões principais. Em termos práticos, cada diferença \sigma_{i}-\sigma_{j} é simplesmente a diferença numérica entre duas tensões principais. Não precisamos desenhar os círculos para calcular essas diferenças — basta trabalhar com as componentes principais.
Relembre: para três tensões principais ordenadas, os três possíveis diâmetros são
\sigma_{1}-\sigma_{2},\qquad \sigma_{2}-\sigma_{3},\qquad \sigma_{1}-\sigma_{3}.
O enunciado trata do caso em que \sigma_{1}-\sigma_{2} é pelo menos tão grande quanto \sigma_{2}-\sigma_{3}.

Passo 3

Agora caracterizar o estado de esforços no ensaio de tração uniaxial. Num ensaio de tração típico assume-se que a barra está carregada apenas axialmente e as superfícies laterais estão livres (sem tensões de tração/compressão aplicadas lateralmente). Portanto, as tensões principais são:
\sigma_{1}=Y,\qquad \sigma_{2}=0,\qquad \sigma_{3}=0,
onde \sigma_{1} é a tensão axial (igual à tensão de escoamento Y quando o material começa a escoar) e \sigma_{2},\sigma_{3} são as tensões laterais nulas (superfícies livres). Essa é a hipótese padrão para relacionar critérios de escoamento com o ensaio uniaxial.

Passo 4

Calcular as diferenças que aparecem no critério usando os valores do Passo 3.
Primeiro,
\sigma_{1}-\sigma_{2}=Y-0=Y.
Segundo,
\sigma_{2}-\sigma_{3}=0-0=0.
Terceiro,
\sigma_{1}-\sigma_{3}=Y-0=Y.
Verificação da condição do enunciado: \sigma_{1}-\sigma_{2}\geqslant\sigma_{2}-\sigma_{3} fica Y\geqslant0, que é verdadeira. Logo podemos usar a fórmula do critério.
Agora substituímos na expressão do critério:
C=(\sigma_{1}-\sigma_{2})+(\sigma_{1}-\sigma_{3})=Y+Y=2Y.

Passo 5

Interpretação curta e prática: o valor crítico C proposto por esse critério, quando calibrado pelo ensaio de tração uniaxial (onde a tensão de escoamento é Y), corresponde ao dobro dessa tensão de escoamento. Ou seja, se na prova uniaxial o material escoa a Y, o critério exige C=2Y.
Força extra de ânimo: esse tipo de exercício pede atenção para identificar o estado de tensões no ensaio (muitos se confundem com tensões laterais). Você foi bem ao pedir a resolução passo a passo — assim decora e entende de verdade.

Resposta

C=2Y

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