4- Em um ensaio de tração, foram encontrados os seguintes valores de tensão e deformação de engenharia: \mathrm{s}=133,3 \mathrm{MPa} em \mathrm{e}=0,05 ; \mathrm{s}=155,2 \mathrm{MPa} em \mathrm{e}=0,10 ; \mathrm{e}, \mathrm{s} =166,3 \mathrm{MPa} em e =0,15.
A. Determine se os dados se encaixam na equação \sigma=k \varepsilon^{n}.
B. Qual a deformação no empescoçamento?

Passo 1

O enunciado dá três pares de tensão e deformação de engenharia (peguei estes números do enunciado):
  • \sigma=133{,}3\\ \mathrm{MPa} em \varepsilon=0{,}05.
  • \sigma=155{,}2\\ \mathrm{MPa} em \varepsilon=0{,}10.
  • \sigma=166{,}3\\ \mathrm{MPa} em \varepsilon=0{,}15.
O que se pede:
A. Verificar se os dados se encaixam numa lei do tipo \sigma = k\,\varepsilon^{n} e, se sim, determinar k e n.
B. Determinar a deformação no empescoçamento (início de estricção / necking).

Passo 2

Observação importante (didática e prática para a prova). A forma clássica da lei de encruamento (Hollomon) usa tensões e deformações verdadeiras (não as de engenharia):
\sigma_{\text{verd}} = k\,\varepsilon_{\text{verd}}^{\,n}.
Por isso primeiro convertemos os pares de engenharia para verdadeiros usando as fórmulas padrão:
\sigma_{\text{verd}}=\sigma_{\text{eng}}(1+\varepsilon_{\text{eng}}), \qquad \varepsilon_{\text{verd}}=\ln(1+\varepsilon_{\text{eng}}).
Vou calcular cada ponto (usei os valores de \sigma_{\text{eng}} e \varepsilon_{\text{eng}} do enunciado):
Para \varepsilon_{\text{eng}}=0{,}05,\\ \sigma_{\text{eng}}=133{,}3:
\sigma_{1}=\;133{,}3\cdot(1+0{,}05)=133{,}3\cdot1{,}05=139{,}965\\ \mathrm{MPa}, \qquad \varepsilon_{1}=\ln(1{,}05)=0{,}048790164.
Para \varepsilon_{\text{eng}}=0{,}10,\\ \sigma_{\text{eng}}=155{,}2:
\sigma_{2}=\;155{,}2\cdot1{,}10=170{,}72\\ \mathrm{MPa}, \qquad \varepsilon_{2}=\ln(1{,}10)=0{,}095310180.
Para \varepsilon_{\text{eng}}=0{,}15,\\ \sigma_{\text{eng}}=166{,}3:
\sigma_{3}=\;166{,}3\cdot1{,}15=191{,}245\\ \mathrm{MPa}, \qquad \varepsilon_{3}=\ln(1{,}15)=0{,}139761942.
(Resumo dos valores verdadeiros obtidos — esses números foram calculados a partir dos dados do enunciado.)

Passo 3

Como a lei é potência, aplicamos logaritmo para linearizar:
\ln\sigma_{\text{verd}}=\ln k + n\,\ln\varepsilon_{\text{verd}}.
Definindo x=\ln\varepsilon_{\text{verd}} e y=\ln\sigma_{\text{verd}}, temos uma reta y = \ln k + n x. Podemos:
  • (opção rápida de verificação) calcular inclinações entre pares de pontos e ver se são aproximadamente iguais;
  • (opção mais robusta) ajustar por mínimos quadrados (regressão linear) para obter n e \ln k.
Vou primeiro calcular x_i e y_i (logs naturais) para cada ponto:
Para o ponto 1:
x_1=\ln(0{,}048790164) \approx -3{,}020424,\qquad y_1=\ln(139{,}965)\approx 4{,}941643.
Para o ponto 2:
x_2=\ln(0{,}095310180) \approx -2{,}350859,\qquad y_2=\ln(170{,}72)\approx 5{,}141619.
Para o ponto 3:
x_3=\ln(0{,}139761942) \approx -1{,}967814,\qquad y_3=\ln(191{,}245)\approx 5{,}253036.

Passo 4

Verificação rápida por inclinações entre pares (checagem de consistência):
n_{12}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{5{,}141619-4{,}941643}{-2{,}350859-(-3{,}020424)} \approx\frac{0{,}199976}{0{,}669565}\approx0{,}2986.
n_{23}=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}=\frac{5{,}253036-5{,}141619}{-1{,}967814-(-2{,}350859)} \approx\frac{0{,}111417}{0{,}383045}\approx0{,}2909.
n_{13}=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}\approx\frac{0{,}311393}{1{,}05261}\approx0{,}2959.
As três estimativas de n ficam próximas (aprox. 0{,}29\pm0{,}01), o que já indica que os três pontos são compatíveis com uma lei potência em escala de tensões verdadeiras e deformações verdadeiras.

Passo 5

Ajuste por mínimos quadrados (mais preciso). Para a regressão linear y=\ln k + n x sobre os três pontos, aplicando a fórmula da inclinação:
n=\frac{N\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{N\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2},
com N=3. Usando os x_i,y_i calculados obtém-se numericamente
n\approx0{,}294\quad(\text{aprox. }0{,}294).
O intercepto é
\ln k = \bar{y} - n\bar{x},
com \bar{x} e \bar{y} as médias dos x_i e y_i. Isso dá
\ln k \approx 5{,}83\quad\Rightarrow\quad k=\mathrm{e}^{5{,}83}\approx 341\\ \mathrm{MPa}.
Portanto, na forma verdadeira:
\sigma_{\text{verd}}\approx 341\\ \mathrm{MPa}\;\cdot\;\varepsilon_{\text{verd}}^{\,0{,}294}.

Passo 6

Verificação da qualidade do ajuste (checar previsões versus dados reais):
  • Para \varepsilon_{1}=0{,}04879: \sigma_{\text{pred}}\approx341\cdot(0{,}04879)^{0{,}294}\approx139{,}9\\ \mathrm{MPa} (medido 139{,}965).
  • Para \varepsilon_{2}=0{,}09531: \sigma_{\text{pred}}\approx170{,}7\\ \mathrm{MPa} (medido 170{,}72).
  • Para \varepsilon_{3}=0{,}13976: \sigma_{\text{pred}}\approx191{,}2\\ \mathrm{MPa} (medido 191{,}245).
Os resíduos são muito pequenos, então os dados ajustam bem a lei potência quando tratamos as grandezas verdadeiras — conclusão prática para a prova: sim, encaixam.

Passo 7

Determinar a deformação no empescoçamento (necking). Teoria/critério (Considère): o início do empescoçamento ocorre quando a tensão verdadeira é igual ao seu gradiente em relação à deformação verdadeira:
\sigma_{\text{verd}} = \frac{d\sigma_{\text{verd}}}{d\varepsilon_{\text{verd}}}.
Se \sigma_{\text{verd}}=k\varepsilon_{\text{verd}}^{n}, então
\frac{d\sigma_{\text{verd}}}{d\varepsilon_{\text{verd}}}=k n \varepsilon_{\text{verd}}^{\,n-1}.
Igualando:
k\varepsilon_{\text{verd}}^{n}=k n \varepsilon_{\text{verd}}^{\,n-1} \quad\Rightarrow\quad \varepsilon_{\text{verd}}=n.
Ou seja: o empescoçamento começa na deformação verdadeira igual ao expoente de encruamento n.
No nosso caso:
\varepsilon_{\text{verd,neck}}=n\approx0{,}294.
Mas o enunciado pergunta (provavelmente) a deformação de engenharia no empescoçamento; convertemos de volta:
\varepsilon_{\text{eng,neck}}=\mathrm{e}^{\varepsilon_{\text{verd,neck}}}-1=\mathrm{e}^{0{,}294}-1\approx 1{,}3415-1\approx0{,}3415.
Ou seja, empescoçamento previsto em \varepsilon_{\text{eng}}\approx0{,}341 (34,1%).

Resposta

A: Os dados ajustam-se bem à lei potência (quando se usa tensão e deformação verdadeiras): k\approx341\\ \mathrm{MPa},\\ n\approx0{,}294.
B: Deformação no empescoçamento (engenharia): \varepsilon_{\text{eng,neck}}\approx0{,}341 (≈34,1%).

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