4- Em um ensaio de tração, foram encontrados os seguintes valores de tensão e deformação de engenharia:
em
em
em e
.
A. Determine se os dados se encaixam na equação
.
B. Qual a deformação no empescoçamento?
A. Determine se os dados se encaixam na equação
B. Qual a deformação no empescoçamento?
Passo 1
O enunciado dá três pares de tensão e deformação de engenharia (peguei estes números do enunciado):
-
em . -
em . -
em .
O que se pede:
A. Verificar se os dados se encaixam numa lei do tipo e, se sim, determinar
e
.
B. Determinar a deformação no empescoçamento (início de estricção / necking).
A. Verificar se os dados se encaixam numa lei do tipo
B. Determinar a deformação no empescoçamento (início de estricção / necking).
Passo 2
Observação importante (didática e prática para a prova). A forma clássica da lei de encruamento (Hollomon) usa tensões e deformações verdadeiras (não as de engenharia):
Por isso primeiro convertemos os pares de engenharia para verdadeiros usando as fórmulas padrão:
Vou calcular cada ponto (usei os valores de
e
do enunciado):
Para
:
Para
:
Para
:
(Resumo dos valores verdadeiros obtidos — esses números foram calculados a partir dos dados do enunciado.)
Passo 3
Como a lei é potência, aplicamos logaritmo para linearizar:
Definindo
e
, temos uma reta
. Podemos:
- (opção rápida de verificação) calcular inclinações entre pares de pontos e ver se são aproximadamente iguais;
- (opção mais robusta) ajustar por mínimos quadrados (regressão linear) para obter
e .
Vou primeiro calcular
e
(logs naturais) para cada ponto:
Para o ponto 1:
Para o ponto 2:
Para o ponto 3:
Passo 4
Verificação rápida por inclinações entre pares (checagem de consistência):
As três estimativas de
ficam próximas (aprox.
), o que já indica que os três pontos são compatíveis com uma lei potência em escala de tensões verdadeiras e deformações verdadeiras.
Passo 5
Ajuste por mínimos quadrados (mais preciso). Para a regressão linear
sobre os três pontos, aplicando a fórmula da inclinação:
com
. Usando os
calculados obtém-se numericamente
O intercepto é
com
e
as médias dos
e
. Isso dá
Portanto, na forma verdadeira:
Passo 6
Verificação da qualidade do ajuste (checar previsões versus dados reais):
- Para
: (medido ). - Para
: (medido ). - Para
: (medido ).
Os resíduos são muito pequenos, então os dados ajustam bem a lei potência quando tratamos as grandezas verdadeiras — conclusão prática para a prova: sim, encaixam.
Passo 7
Determinar a deformação no empescoçamento (necking). Teoria/critério (Considère): o início do empescoçamento ocorre quando a tensão verdadeira é igual ao seu gradiente em relação à deformação verdadeira:
Se
, então
Igualando:
Ou seja: o empescoçamento começa na deformação verdadeira igual ao expoente de encruamento
.
No nosso caso:
Mas o enunciado pergunta (provavelmente) a deformação de engenharia no empescoçamento; convertemos de volta:
Ou seja, empescoçamento previsto em
(34,1%).
Resposta
A: Os dados ajustam-se bem à lei potência (quando se usa tensão e deformação verdadeiras):
.
B: Deformação no empescoçamento (engenharia): (≈34,1%).
B: Deformação no empescoçamento (engenharia):