39 Resolva a equação
\frac{m+1}{m}-\frac{m-2}{m+1}=\frac{17}{m^{2}+m} .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação racional
\frac{m+1}{m} \;-\;\frac{m-2}{m+1} \;=\;\frac{17}{m^{2}+m}.
O conteúdo principal é manipulação de frações algébricas: devemos identificar as restrições de domínio e fazer o somatório das frações pelo denominador comum.

Passo 2

Antes de qualquer coisa, notamos que os denominadores não podem ser nulos. Como
m\neq 0 \quad\text{e}\quad m+1\neq 0,
temos as proibições
m\neq 0 \quad\text{e}\quad m\neq -1.

Passo 3

Escrevemos cada fração com o mesmo denominador m(m+1). No numerador do lado esquerdo fica
(m+1)^{2} \;-\; m\,(m-2).
Calculando:
(m+1)^{2} = m^{2}+2m+1, \quad m\,(m-2)=m^{2}-2m,
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(m+1)^{2}-m(m-2) = (m^{2}+2m+1)-(m^{2}-2m) =4m+1.
Assim o lado esquerdo vira
\frac{4m+1}{m(m+1)}.

Passo 4

A equação original fica
\frac{4m+1}{m(m+1)} = \frac{17}{m(m+1)}.
Como m(m+1)\neq 0, podemos multiplicar os dois lados por m(m+1) e obter
4m+1 = 17.

Passo 5

Resolvendo
4m = 16 \quad\Longrightarrow\quad m=4.
Verificamos que m=4 não viola as restrições m\neq 0 e m\neq -1.

Resposta

m=4

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