Exercício 11. Determine a distância
do centroide da seção reta da área da viga e encontre seu momento de inércia em relação ao eixo
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a distância
do centroide da seção (distância medida desde o eixo de referência vertical mostrado na figura até o eixo centroidal vertical ). - Calcular o momento de inércia da seção em relação ao eixo
(eixo vertical que passa pelo centroide).
Informações relevantes que peguei da imagem (assumi que esses comprimentos e espessuras são exatamente os indicados na figura):
- Espessura das chapas horizontais (cada “flange”):
. - Largura (extensão em
) de cada flange a partir da face do alma: . - Espessura da alma (web) na direção
: . - Espaçamento vertical entre as chapas (vão entre chapas):
. - Há três chapas horizontais idênticas, ligadas à face direita da alma vertical.
- Tomei o eixo
como o eixo vertical localizado na face externa esquerda da alma (ou seja, a alma ocupa e as chapas estendem-se de a ).
Observação sobre a altura total da alma: como há três chapas com espessura
e dois vãos de
entre elas, a altura total da alma é
Passo 2
Estratégia de resolução (sem entrar ainda nas contas): dividir a seção em corpos simples (retângulos) cujas áreas e momentos de inércia são fáceis de calcular; depois:
- calcular a área e o centroide em
de cada peça; - usar a fórmula do centroide composto para obter
; - calcular o momento de inércia de cada peça em torno de um eixo vertical que passe pelo seu próprio centro (fórmula conhecida) e então aplicar o Teorema dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner) para deslocar cada
até o eixo ; somar tudo para obter .
Relembrando fórmulas úteis (com explicação):
- Área de um retângulo:
. Aqui “largura” é a dimensão ao longo de e “altura” é a dimensão ao longo de . - Centroide composto (coordenada
do conjunto):
onde
é a área do elemento
e
é a posição em
do centro do elemento
medida a partir do eixo de referência
.
- Momento de inércia de um retângulo em torno do seu eixo vertical central (
passando pelo centro do retângulo):
onde
é a dimensão na direção
(largura) e
é a dimensão na direção
(altura). Explicação: para um retângulo, a fórmula padronizada é essa; o expoente 3 está em
porque estamos calculando inércia em relação a um eixo paralelo a
(variância de
).
- Teorema dos eixos paralelos: para deslocar o momento de inércia de um eixo que passa pelo centro de massa do elemento para um eixo paralelo a uma distância
, usa-se
onde
é a distância horizontal entre os dois eixos.
Passo 3
Calcular áreas e posições
de cada elemento (usei a convenção
na face externa esquerda da alma):
-
Alma (web): retângulo de espessura em
igual a e altura em igual a . - Área:
- Centro em
: centro geométrico do retângulo da alma fica em
- Área:
-
Cada flange (há 3 idênticas): retângulo de largura em
igual a e espessura em igual a . - Área de uma flange:
- Centro em
: as flanges começam na face direita da alma (em ) e vão até . Logo o centro de cada flange é
- Área de uma flange:
-
Soma das áreas:
Passo 4
Calcular a coordenada do centroide
usando a fórmula do centroide composto:
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
soma:
Logo
(ou seja
a partir do eixo
da figura).
Passo 5
Agora calcular
(momento de inércia em relação ao eixo vertical que passa pelo centroide, i.e. eixo em
). Aplicamos para cada elemento:
, com
.
Primeiro os termos centroidais (momentos de inércia centrais de cada retângulo):
-
Flange (cada uma):
- Fórmula:
. - Substituindo:
Calcule. Então - Fórmula:
-
Alma (web):
- Fórmula:
. - Substituindo:
Calcule. Então - Fórmula:
Agora os termos
:
- Distâncias horizontais ao eixo centroidal:
- Para cada flange:
- Note:
e - Área
, logo
- Note:
- Para a alma:
-
, então - Área
, logo
-
- Para cada flange:
Agora somamos os contributions deslocados:
-
Soma para as 3 flanges:
- Para cada flange:
- Três flanges:
- Para cada flange:
-
Para a alma:
-
Somando tudo:
Arredondando de forma conveniente, podemos escrever