Exercício 11. Determine a distância \bar{x} do centroide da seção reta da área da viga e encontre seu momento de inércia em relação ao eixo y^{\prime}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a distância \bar{x} do centroide da seção (distância medida desde o eixo de referência vertical y mostrado na figura até o eixo centroidal vertical y').
  • Calcular o momento de inércia da seção em relação ao eixo y' (eixo vertical que passa pelo centroide).
Informações relevantes que peguei da imagem (assumi que esses comprimentos e espessuras são exatamente os indicados na figura):
  • Espessura das chapas horizontais (cada “flange”): \,40\\ \text{mm}\,.
  • Largura (extensão em x) de cada flange a partir da face do alma: \,120\\ \text{mm}\,.
  • Espessura da alma (web) na direção x: \,40\\ \text{mm}\,.
  • Espaçamento vertical entre as chapas (vão entre chapas): \,40\\ \text{mm}\,.
  • Há três chapas horizontais idênticas, ligadas à face direita da alma vertical.
  • Tomei o eixo y como o eixo vertical localizado na face externa esquerda da alma (ou seja, a alma ocupa 0\le x\le 40\\ \text{mm} e as chapas estendem-se de x=40 a x=160\\ \text{mm}).
Observação sobre a altura total da alma: como há três chapas com espessura 40\\ \text{mm} e dois vãos de 40\\ \text{mm} entre elas, a altura total da alma é
H = 3\cdot 40 + 2\cdot 40 = 200\\ \text{mm}.

Passo 2

Estratégia de resolução (sem entrar ainda nas contas): dividir a seção em corpos simples (retângulos) cujas áreas e momentos de inércia são fáceis de calcular; depois:
  • calcular a área e o centroide em x de cada peça;
  • usar a fórmula do centroide composto para obter \bar{x};
  • calcular o momento de inércia de cada peça em torno de um eixo vertical que passe pelo seu próprio centro (fórmula conhecida) e então aplicar o Teorema dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner) para deslocar cada I até o eixo y'; somar tudo para obter I_{y'}.
Relembrando fórmulas úteis (com explicação):
  • Área de um retângulo: \,A = \text{largura}_x \times \text{altura}_y\,. Aqui “largura” é a dimensão ao longo de x e “altura” é a dimensão ao longo de y.
  • Centroide composto (coordenada x do conjunto): \bar{x}=\dfrac{\sum A_i x_i}{\sum A_i},
onde A_i é a área do elemento i e x_i é a posição em x do centro do elemento i medida a partir do eixo de referência y.
  • Momento de inércia de um retângulo em torno do seu eixo vertical central ( y passando pelo centro do retângulo): I_{y,\text{centro}}=\dfrac{1}{12}\,h\,b^{3},
onde b é a dimensão na direção x (largura) e h é a dimensão na direção y (altura). Explicação: para um retângulo, a fórmula padronizada é essa; o expoente 3 está em b porque estamos calculando inércia em relação a um eixo paralelo a y (variância de x).
  • Teorema dos eixos paralelos: para deslocar o momento de inércia de um eixo que passa pelo centro de massa do elemento para um eixo paralelo a uma distância d, usa-se I_{y,\text{trans}} = I_{y,\text{centro}} + A\,d^{2},
onde d é a distância horizontal entre os dois eixos.

Passo 3

Calcular áreas e posições x_i de cada elemento (usei a convenção x=0 na face externa esquerda da alma):
  • Alma (web): retângulo de espessura em x igual a \,b_w=40\\ \text{mm}\, e altura em y igual a \,h_w=200\\ \text{mm}\,.
    • Área: A_w = b_w \, h_w = 40\cdot 200 = 8000\\ \text{mm}^2.
    • Centro em x: centro geométrico do retângulo da alma fica em x_w=\dfrac{b_w}{2}=\dfrac{40}{2}=20\\ \text{mm}.
  • Cada flange (há 3 idênticas): retângulo de largura em x igual a \,b_f=120\\ \text{mm}\, e espessura em y igual a \,h_f=40\\ \text{mm}\,.
    • Área de uma flange: A_f = b_f \, h_f = 120\cdot 40 = 4800\\ \text{mm}^2.
    • Centro em x: as flanges começam na face direita da alma (em x=40) e vão até x=40+120=160. Logo o centro de cada flange é x_f = 40 + \frac{120}{2} = 40 + 60 = 100\\ \text{mm}.
  • Soma das áreas: A_{\text{total}} = A_w + 3A_f = 8000 + 3\cdot 4800 = 8000 + 14400 = 22400\\ \text{mm}^2.

Passo 4

Calcular a coordenada do centroide \bar{x} usando a fórmula do centroide composto:
\bar{x}=\dfrac{A_w x_w + 3 A_f x_f}{A_{\text{total}}}.
Substituindo os valores:
\bar{x}=\dfrac{8000\cdot 20 + 3\cdot 4800\cdot 100}{22400}.
Calcule passo a passo:
8000\cdot 20 = 160000,
3\cdot 4800\cdot 100 = 14400\cdot 100 = 1\,440\,000,
soma:
160000 + 1\,440\,000 = 1\,600\,000.
Logo
\bar{x} = \dfrac{1\,600\,000}{22\,400} = 71{,}428571\\ \text{mm}.
(ou seja \bar{x}=71{,}4286\\ \text{mm} a partir do eixo y da figura).

Passo 5

Agora calcular I_{y'} (momento de inércia em relação ao eixo vertical que passa pelo centroide, i.e. eixo em x=\bar{x}). Aplicamos para cada elemento: I_{y'}^{(i)} = I_{y,\text{centro}}^{(i)} + A_i d_i^2, com d_i = x_i - \bar{x}.
Primeiro os termos centroidais (momentos de inércia centrais de cada retângulo):
  • Flange (cada uma):
    • Fórmula: I_{y,\text{centro}}^{(f)}=\dfrac{1}{12} h_f b_f^{3}.
    • Substituindo: I_{y,\text{centro}}^{(f)}=\dfrac{1}{12}\cdot 40 \cdot 120^{3}.
    Calcule 120^{3}=1\,728\,000. Então
    I_{y,\text{centro}}^{(f)}=\dfrac{40\cdot 1\,728\,000}{12}=\dfrac{69\,120\,000}{12}=5\,760\,000\\ \text{mm}^4.
  • Alma (web):
    • Fórmula: I_{y,\text{centro}}^{(w)}=\dfrac{1}{12} h_w b_w^{3}.
    • Substituindo: I_{y,\text{centro}}^{(w)}=\dfrac{1}{12}\cdot 200 \cdot 40^{3}.
    Calcule 40^{3}=64\,000. Então
    I_{y,\text{centro}}^{(w)}=\dfrac{200\cdot 64\,000}{12}=\dfrac{12\,800\,000}{12}=1\,066\,666{,}6667\\ \text{mm}^4.
Agora os termos A_i d_i^2:
  • Distâncias horizontais ao eixo centroidal:
    • Para cada flange: d_f = x_f - \bar{x} = 100 - 71{,}428571 = 28{,}571429\\ \text{mm}.
      • Note: 28{,}571429 = \dfrac{200}{7} e d_f^2 = \dfrac{40\,000}{49}\approx 816{,}32653\\ \text{mm}^2.
      • Área \,A_f=4800\\ \text{mm}^2, logo A_f d_f^2 = 4800 \cdot 816{,}32653 \approx 3\,918\,367{,}347\\ \text{mm}^4.
    • Para a alma: d_w = x_w - \bar{x} = 20 - 71{,}428571 = -51{,}428571\\ \text{mm}.
      • 51{,}428571 = \dfrac{360}{7}, então d_w^2 = \dfrac{129\,600}{49}\approx 2\,644{,}89796\\ \text{mm}^2.
      • Área A_w=8000\\ \text{mm}^2, logo A_w d_w^2 = 8000\cdot 2\,644{,}89796 \approx 21\,163\,673{,}469\\ \text{mm}^4.
Agora somamos os contributions deslocados:
  • Soma para as 3 flanges:
    • Para cada flange: I_{y,\text{centro}}^{(f)} + A_f d_f^2 = 5\,760\,000 + 3\,918\,367{,}347 \approx 9\,678\,367{,}347\\ \text{mm}^4.
    • Três flanges: 3\cdot 9\,678\,367{,}347 \approx 29\,035\,102{,}041\\ \text{mm}^4.
  • Para a alma:
    • I_{y,\text{centro}}^{(w)} + A_w d_w^2 \approx 1\,066\,666{,}667 + 21\,163\,673{,}469 \approx 22\,230\,340{,}136\\ \text{mm}^4.
Somando tudo:
I_{y'} \approx 29\,035\,102{,}041 + 22\,230\,340{,}136 = 51\,265\,442{,}177\\ \text{mm}^4.
Arredondando de forma conveniente, podemos escrever
I_{y'} \approx 5{,}13\times 10^{7}\\ \text{mm}^4.

Resposta

\bar{x}=71{,}4286\\ \text{mm}\n
I_{y'}\approx 5{,}1265\times 10^{7}\\ \text{mm}^4

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