Determine as componentes da reação do engastamento em A na viga em balanço.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine as componentes da reação do engastamento em A na viga em balanço.”
Informações úteis dadas (peguei estes valores e distâncias da imagem enviada):
  • Há uma viga engastada em A (engaste: suporta reação horizontal A_x, vertical A_y e momento M_A).
  • Viga horizontal com comprimento total 3{,}0\\ \text{m}, dividida em dois trechos de 1{,}5\\ \text{m} + 1{,}5\\ \text{m}.
  • Uma força vertical para baixo de 6\\ \text{kN} aplicada no ponto a 1{,}5\\ \text{m} de A (meio da viga horizontal).
  • No extremo direito a viga continua por uma peça inclinada de comprimento 1{,}5\\ \text{m} formando ângulo de 30^\circ acima da horizontal, e nesse extremo atua uma força de 4\\ \text{kN} ao longo de uma corda/haste com direção 30^\circ abaixo da horizontal (ou seja, componente horizontal para a direita e componente vertical para baixo).
  • Distâncias relevantes (a partir de A):
    • posição da força de 6\\ \text{kN}: x=1{,}5\\ \text{m} ao longo da horizontal.
    • posição da aplicação da força de 4\\ \text{kN}: primeiro 3{,}0\\ \text{m} ao longo da horizontal até a junção, mais a projeção horizontal do segmento inclinado 1{,}5\cos30^\circ.
  • Objetivo explícito: calcular as componentes da reação no engaste em A (isto é, A_x, A_y e M_A).

Passo 2

Vamos decompor a força de 4\\ \text{kN} em componentes horizontal e vertical. Regra: se uma força F tem direção a um ângulo \theta abaixo da horizontal, então suas componentes são:
F_x = F\cos\theta,\qquad F_y = -F\sin\theta,
onde o sinal negativo em F_y indica que é para baixo. Aqui F=4\\ \text{kN} e \theta=30^\circ. Portanto:
F_x = 4\cos30^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\\ \text{kN}\approx 3{,}464\\ \text{kN},
F_y = -4\sin30^\circ = -4\cdot\frac{1}{2}=-2{,}0\\ \text{kN}.
Interpretação: a força de 4\\ \text{kN} empurra para a direita com cerca de 3{,}464\\ \text{kN} e para baixo com 2{,}0\\ \text{kN}.

Passo 3

Determinar a posição (braço de alavanca) da força de 4\\ \text{kN} em relação ao engaste A. Usamos projeções do segmento inclinado. A projeção horizontal do segmento inclinado de 1{,}5\\ \text{m} é:
\Delta x = 1{,}5\cos30^\circ = 1{,}5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=0{,}75\sqrt{3}\\ \text{m}\approx 1{,}299\\ \text{m}.
Assim, a coordenada horizontal do ponto de aplicação da força (medida a partir de A) é:
x_{4} = 3{,}0 + \Delta x = 3{,}0 + 0{,}75\sqrt{3}\\ \text{m}\approx 4{,}299\\ \text{m}.
A coordenada vertical do ponto (altura acima da linha horizontal da viga) é a projeção vertical do segmento inclinado:
y_{4} = 1{,}5\sin30^\circ = 1{,}5\cdot\frac{1}{2}=0{,}75\\ \text{m}.

Passo 4

Equilíbrio das forças horizontais e verticais (estática estática para corpo rígido em equilíbrio):
Somatório das forças horizontais igual a zero:
\sum F_x = 0 \quad\Rightarrow\quad A_x + F_{x,\text{ext}}=0.
Aqui o único carregamento horizontal externo é F_x=+2\sqrt{3}\\ \text{kN} para a direita, então:
A_x + 2\sqrt{3}=0 \quad\Rightarrow\quad A_x = -2\sqrt{3}\\ \text{kN}.
Escrever interpretando o sinal: A_x=-2\sqrt{3}\\ \text{kN} significa que a reação em A tem magnitude 2\sqrt{3}\\ \text{kN} apontando para a esquerda. Em valor numérico:
A_x = -3{,}464\\ \text{kN}\quad(\text{ou seja, }3{,}464\\ \text{kN}\\ \text{para a esquerda}).
Somatório das forças verticais igual a zero:
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad A_y + F_{y,\text{ext}} + (-6)=0,
onde F_{y,\text{ext}}=-2{,}0\\ \text{kN} (a componente vertical da força de 4\\ \text{kN}). Assim:
A_y -2{,}0 -6 =0 \quad\Rightarrow\quad A_y = 8{,}0\\ \text{kN}.
Interpretação: a reação vertical A_y aponta para cima com 8{,}0\\ \text{kN}, equilibrando as cargas verticais totais 6{,}0+2{,}0=8{,}0\\ \text{kN} para baixo.

Passo 5

Equilíbrio de momentos em torno do engaste A: para um engaste, M_A deve equilibrar o somatório dos momentos das forças externas em relação a A. Usamos a convenção: momento positivo para o sentido anti-horário (CCW). O momento de uma força pontual é dado por M = \mathbf{r}\times\mathbf{F}. Para forças planas podemos usar fórmulas escalares:
  • Momento gerado por uma componente vertical F_y aplicada a uma distância horizontal x de A: M = x\cdot F_y.
  • Momento gerado por uma componente horizontal F_x aplicada a uma distância vertical y de A: M = -y\cdot F_x (o sinal resulta do produto vetorial; usamos explicitamente M_z = xF_y - yF_x).
Calculemos os momentos das cargas externas (todas em kN·m):
  1. Força 6\\ \text{kN} para baixo em x=1{,}5\\ \text{m}:
M_{6} = x\cdot F_y = 1{,}5\cdot(-6) = -9{,}0\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
(O sinal negativo indica momento horário, isto é, contribuição negativa ao somatório CCW.)
  1. Componente vertical da força de 4\\ \text{kN}: F_{y,4}=-2{,}0\\ \text{kN} em x=x_4\approx 4{,}299\\ \text{m}:
M_{4y} = x_4\cdot F_{y,4} \approx 4{,}299\cdot(-2{,}0) = -8{,}598\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  1. Componente horizontal da força de 4\\ \text{kN}: F_{x,4}=+2\sqrt{3}\\ \text{kN} atuando à altura y_4=0{,}75\\ \text{m}:
M_{4x} = -y_4\cdot F_{x,4} = -0{,}75\cdot(2\sqrt{3}) \approx -2{,}598\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
(negativo também — contribui para o sentido horário).
Somando os momentos externos:
\sum M_{\text{ext about }A} = M_{6}+M_{4y}+M_{4x} \approx -9{,}0 -8{,}598 -2{,}598 = -20{,}196\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Para equilíbrio, a reação de momento no engaste deve ser igual e oposta a esse somatório:
M_A = -\sum M_{\text{ext about }A} \approx +20{,}196\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Interpretação: M_A\approx 20{,}20\\ \text{kN}\cdot\text{m} no sentido anti-horário (CCW) para contrabalançar os momentos horários das cargas.

Passo 6

Resumo numérico arredondado (três algarismos significativos para componentes):
  • A_x = -2\sqrt{3}\\ \text{kN}\approx -3{,}464\\ \text{kN} (ou seja, 3{,}46\\ \text{kN} para a esquerda).
  • A_y = 8{,}0\\ \text{kN} (para cima).
  • M_A \approx 20{,}20\\ \text{kN}\cdot\text{m} (sentido anti-horário).

Resposta

A_x = -3{,}464\\ \text{kN} (ou seja, 3{,}464\\ \text{kN} para a esquerda)
A_y = 8{,}00\\ \text{kN} (para cima)
M_A = 20{,}20\\ \text{kN}\cdot\text{m} (sentido anti-horário)

Exercícios relacionados