2/3A velocidade de uma partícula que se desloca ao longo do eixo s é dada por \mathrm{v}=2+ 5 t^{3 / 2}, em que t é em segundos e v é em metros por segundo. Calcule o deslocamento s, a velocidade v , e a aceleração a quando \mathrm{t}=4 \mathrm{~s}. A partícula está na origem \mathrm{s}=0 quando \mathrm{t}= 0 .

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula ao longo do eixo s como
v(t)=2+5\,t^{3/2},
onde t está em segundos e v em metros por segundo. A partícula está na origem quando t=0, isto é,
s(0)=0.
O que o problema pede:
  • Calcular o deslocamento s quando t=4\\ \text{s} (isto é, encontrar s(4)).
  • Calcular a velocidade v quando t=4\\ \text{s} (isto é, v(4)).
  • Calcular a aceleração a quando t=4\\ \text{s} (isto é, a(4)).
Dados relevantes que vamos usar (retomando do enunciado):
  • v(t)=2+5\,t^{3/2}.
  • Condição inicial s(0)=0.

Passo 2

Entender como obter s(t) a partir de v(t). A relação entre posição s(t) e velocidade v(t) é
v(t)=\frac{ds}{dt}.
Para achar s(t) precisamos integrar v(t) em relação a t:
s(t)=\int v(t)\,dt + C.
Regra prática (fórmula que vamos usar) — regra de potência para integração:
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{(para }n\neq-1\text{)}.
Aqui a velocidade é soma de termos, então integramos termo a termo.

Passo 3

Calcular a integral de v(t).
s(t)=\int\bigl(2+5\,t^{3/2}\bigr)\,dt.
Integramos cada termo:
  • \displaystyle \int 2\,dt = 2t.
  • Para o segundo termo, aplicar a regra de potência com n=\tfrac{3}{2}:
\int 5\,t^{3/2}\,dt = 5\cdot\frac{t^{(3/2)+1}}{(3/2)+1} + C =5\cdot\frac{t^{5/2}}{5/2} =5\cdot\frac{2}{5}\,t^{5/2} =2\,t^{5/2}.
Portanto, a primitiva geral é
s(t)=2t+2\,t^{5/2}+C.

Passo 4

Determinar a constante de integração usando s(0)=0.
Substituindo t=0:
s(0)=2\cdot 0 + 2\cdot 0^{5/2} + C = 0 + 0 + C = C.
Como s(0)=0, segue C=0. Logo
s(t)=2t+2\,t^{5/2}.

Passo 5

Avaliar s(4). Primeiro simplificar as potências:
4^{5/2}=\bigl(\sqrt{4}\,\bigr)^{5}=2^{5}=32.
Agora calcular
s(4)=2\cdot 4 + 2\cdot 4^{5/2}=8 + 2\cdot 32=8+64=72.
Unidade: metros. Logo s(4)=72\\ \text{m}.

Passo 6

Calcular v(4) fazendo a substituição direta em v(t).
Primeiro:
4^{3/2}=\bigl(\sqrt{4}\,\bigr)^{3}=2^{3}=8.
Então
v(4)=2+5\cdot 4^{3/2}=2+5\cdot 8=2+40=42.
Unidade: metros por segundo. Logo v(4)=42\\ \text{m/s}.

Passo 7

Calcular a aceleração a(t). A aceleração é a derivada da velocidade:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Usar a regra de potência para derivação:
\frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}.
Derivando v(t)=2+5\,t^{3/2}:
a(t)=0 + 5\cdot\frac{3}{2}\,t^{1/2}=\frac{15}{2}\,t^{1/2}.
Avaliar em t=4. Como \sqrt{4}=2,
a(4)=\frac{15}{2}\cdot 2=15.
Unidade: metros por segundo ao quadrado. Logo a(4)=15\\ \text{m/s}^2.

Resposta

s(4)=72\\ \text{m}
v(4)=42\\ \text{m/s}
a(4)=15\\ \text{m/s}^2

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