2/3A velocidade de uma partícula que se desloca ao longo do eixo s é dada por
, em que t é em segundos e v é em metros por segundo. Calcule o deslocamento s, a velocidade v , e a aceleração a quando
. A partícula está na origem
quando
0 .
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da partícula ao longo do eixo
como
onde
está em segundos e
em metros por segundo. A partícula está na origem quando
, isto é,
O que o problema pede:
- Calcular o deslocamento
quando (isto é, encontrar ). - Calcular a velocidade
quando (isto é, ). - Calcular a aceleração
quando (isto é, ).
Dados relevantes que vamos usar (retomando do enunciado):
-
. - Condição inicial
.
Passo 2
Entender como obter
a partir de
. A relação entre posição
e velocidade
é
Para achar
precisamos integrar
em relação a
:
Regra prática (fórmula que vamos usar) — regra de potência para integração:
Aqui a velocidade é soma de termos, então integramos termo a termo.
Passo 3
Calcular a integral de
.
Integramos cada termo:
-
. - Para o segundo termo, aplicar a regra de potência com
:
Portanto, a primitiva geral é
Passo 4
Determinar a constante de integração usando
.
Substituindo :
Substituindo
Como
, segue
. Logo
Passo 5
Avaliar
. Primeiro simplificar as potências:
Agora calcular
Unidade: metros. Logo
.
Passo 6
Calcular
fazendo a substituição direta em
.
Primeiro:
Primeiro:
Então
Unidade: metros por segundo. Logo
.
Passo 7
Calcular a aceleração
. A aceleração é a derivada da velocidade:
Usar a regra de potência para derivação:
Derivando
:
Avaliar em
. Como
,
Unidade: metros por segundo ao quadrado. Logo
.