Um carro elétrico é submetido a testes de aceleração ao longo de uma pista de testes reta e nivelada. Os dados obtidos para a relação v-t ao longo dos primeiros 10 segundos podem ser satisfatoriamente modelados pela função \mathrm{v}=7,3 \mathrm{t}-0,3 \mathrm{t}^{2}+1,5 \mathrm{t}^{1 / 2} em que t é o tempo em segundos e v é a velocidade em metros por segundo. Determine o deslocamento
s em função do tempo para o intervalo 0 \leq \mathrm{t} \leq 10 s e especifique o seu valor para o tempo \mathrm{t}=10 \mathrm{~s}.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede:
  • O enunciado fornece a relação velocidade-tempo
v(t)=7,3\,t-0,3\,t^{2}+1,5\,t^{1/2},
onde t está em segundos e v em metros por segundo, válida para 0\le t\le 10 s.
  • O que se pede:
    • Determinar o deslocamento s em função do tempo (ou seja, s(t)) para 0\le t\le 10 s.
    • Calcular o valor de s para t=10 s.
Observação importante (condição inicial): o enunciado não informa explicitamente a posição inicial s(0). Em problemas de movimento quando não é dada posição inicial costuma-se tomar s(0)=0 (ou então o valor seria a expressão com uma constante arbitrária). Aqui vamos assumir s(0)=0. Se o exame quisesse outra constante, bastaria acrescentar +C à solução.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (a “aula” curta e prática):
  • Deslocamento s(t) é a primitiva (integral) da velocidade v(t), isto é:
s(t)=\int v(t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração que determina s(0).
  • Regra básica de integração que usaremos (regra da potência):
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+ \text{constante},\quad \text{para } n\neq -1.
  • Também podemos retirar constantes fora da integral:
\int a\,f(t)\,dt = a\int f(t)\,dt.
Vou aplicar essas regras termo a termo na função v(t). Não se assuste: é só integrar cada parcela separadamente e somar os resultados.

Passo 3

Integrando o primeiro termo 7,3\,t:
  • Aplicando a regra da potência com n=1:
\int 7,3\,t\,dt = 7,3\cdot\frac{t^{1+1}}{1+1} = 7,3\cdot\frac{t^{2}}{2}.
  • Simplificando o coeficiente:
7,3\cdot\frac{1}{2}=3,65,
logo a primitiva do primeiro termo é
3,65\,t^{2}.

Passo 4

Integrando o segundo termo -0,3\,t^{2}:
  • Com n=2,
\int -0,3\,t^{2}\,dt = -0,3\cdot\frac{t^{3}}{3}.
  • Simplificando o coeficiente:
-0,3\cdot\frac{1}{3}=-0,1,
portanto a primitiva do segundo termo é
-0,1\,t^{3}.

Passo 5

Integrando o terceiro termo 1,5\,t^{1/2} (aqui explico o expoente fracionário):
  • Note que t^{1/2}=\sqrt{t}. Aplicando a regra da potência com n=\tfrac{1}{2},
\int 1,5\,t^{1/2}\,dt = 1,5\cdot\frac{t^{1/2+1}}{1/2+1}=1,5\cdot\frac{t^{3/2}}{3/2}.
  • Dividindo por 3/2 equivale a multiplicar por 2/3. Então
1,5\cdot\frac{2}{3} = \frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=1.
  • Assim a primitiva do terceiro termo é simplesmente
t^{3/2}.

Passo 6

Juntando as primitivas e incluindo a constante de integração:
  • Somando os resultados dos passos anteriores obtemos a primitiva geral
s(t)=3,65\,t^{2}-0,1\,t^{3}+t^{3/2}+C.
  • Agora aplicamos a condição inicial assumida s(0)=0. Avaliando em t=0
s(0)=3,65\cdot 0^{2}-0,1\cdot 0^{3}+0^{3/2}+C = C.
Para s(0)=0 segue C=0. Portanto, com a condição inicial escolhida,
s(t)=3,65\,t^{2}-0,1\,t^{3}+t^{3/2}\quad\text{para }0\le t\le 10.

Passo 7

Cálculo numérico de s(10) passo a passo:
  • Primeiro calcule cada parcela em t=10:
    • 3,65\,t^{2} em t=10:
    3,65\cdot 10^{2}=3,65\cdot 100=365.
    • -0,1\,t^{3} em t=10:
    -0,1\cdot 10^{3}=-0,1\cdot 1000=-100.
    • t^{3/2} em t=10: escrevendo t^{3/2}=t\sqrt{t},
    10^{3/2}=10\sqrt{10}.Aproximação prática para \sqrt{10}: \sqrt{10}\approx 3,16227766. Então 10\sqrt{10}\approx 10\cdot 3,16227766\approx 31,6227766.
  • Somando as parcelas:
s(10)=365-100+31,6227766\approx 296,6227766\\ \text{m}.
  • Arredondando de forma razoável (os coeficientes originais têm duas casas decimais), podemos dar s(10)\approx 296,6\\ \text{m} ou, se preferir um inteiro, 297\\ \text{m}.

Resposta

s(t)=3,65\,t^{2}-0,1\,t^{3}+t^{3/2}
s(10)\approx 296,6\\ \text{m}

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