Um carro elétrico é submetido a testes de aceleração ao longo de uma pista de testes reta e nivelada. Os dados obtidos para a relação v-t ao longo dos primeiros 10 segundos podem ser satisfatoriamente modelados pela função
em que t é o tempo em segundos e v é a velocidade em metros por segundo. Determine o deslocamento
s em função do tempo para o intervalo
s e especifique o seu valor para o tempo
.
s em função do tempo para o intervalo
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e do que pede:
- O enunciado fornece a relação velocidade-tempo
onde
está em segundos e
em metros por segundo, válida para
s.
- O que se pede:
- Determinar o deslocamento
em função do tempo (ou seja, ) para s. - Calcular o valor de
para s.
- Determinar o deslocamento
Observação importante (condição inicial): o enunciado não informa explicitamente a posição inicial
. Em problemas de movimento quando não é dada posição inicial costuma-se tomar
(ou então o valor seria a expressão com uma constante arbitrária). Aqui vamos assumir
. Se o exame quisesse outra constante, bastaria acrescentar
à solução.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (a “aula” curta e prática):
- Deslocamento
é a primitiva (integral) da velocidade , isto é:
onde
é a constante de integração que determina
.
- Regra básica de integração que usaremos (regra da potência):
- Também podemos retirar constantes fora da integral:
Vou aplicar essas regras termo a termo na função
. Não se assuste: é só integrar cada parcela separadamente e somar os resultados.
Passo 3
Integrando o primeiro termo
:
- Aplicando a regra da potência com
:
- Simplificando o coeficiente:
logo a primitiva do primeiro termo é
Passo 4
Integrando o segundo termo
:
- Com
,
- Simplificando o coeficiente:
portanto a primitiva do segundo termo é
Passo 5
Integrando o terceiro termo
(aqui explico o expoente fracionário):
- Note que
. Aplicando a regra da potência com ,
- Dividindo por
equivale a multiplicar por . Então
- Assim a primitiva do terceiro termo é simplesmente
Passo 6
Juntando as primitivas e incluindo a constante de integração:
- Somando os resultados dos passos anteriores obtemos a primitiva geral
- Agora aplicamos a condição inicial assumida
. Avaliando em dá
Para
segue
. Portanto, com a condição inicial escolhida,
Passo 7
Cálculo numérico de
passo a passo:
- Primeiro calcule cada parcela em
: -
em :
-
em :
-
em : escrevendo ,
Aproximação prática para : . Então -
- Somando as parcelas:
- Arredondando de forma razoável (os coeficientes originais têm duas casas decimais), podemos dar
ou, se preferir um inteiro, .