3H. 10 Calcule a densidade de cada um dos seguintes metais a partir das informações dadas:
(b) rubídio (estrutura bcc, raio atômico 248 pm )

Passo 1

O enunciado pede: calcular a densidade do rubídio sabendo que ele tem estrutura cúbica de corpo centrado (bcc) e raio atômico 248\\ \text{pm}. Informações dadas:
  • Estrutura: bcc (cúbica de corpo centrado).
  • Raio atômico: R = 248\\ \text{pm}.
O que queremos encontrar: a densidade \rho do metal, em unidades usuais ( \text{g/cm}^3).

Passo 2

Plano e fórmula principal. A densidade de um cristal é dada por
\rho=\frac{\text{massa da célula unitária}}{\text{volume da célula unitária}}.éáéá
Vou calcular a massa de uma célula unitária (a partir da massa atômica e do número de átomos por célula) e o volume da célula (a partir do parâmetro de rede a, que vem do raio atômico para a estrutura bcc). Depois divido massa por volume.

Passo 3

Quantos átomos por célula unitária em bcc e geometria básica. Em uma estrutura bcc há n=2 átomos por célula unitária (1 átomo inteiro no centro + 8 cantos que somam 1 átomo). Na bcc os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo (diagonal espacial, ou “body diagonal”). A diagonal espacial tem comprimento \sqrt{3}\,a (onde a é o parâmetro de rede) e, nessa diagonal, há duas vezes o raio de cada átomo mais mais dois raios (na sequência átomo-canto—átomo-centro—átomo-canto), o que totaliza 4R. Logo a relação geométrica é
\sqrt{3}\,a = 4R \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4R}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Converter o raio para unidades coerentes e calcular a. Primeiro converto R em centímetros, porque quero \rho em \text{g/cm}^3. Lembrando que 1\\ \text{pm}=10^{-12}\\ \text{m}=10^{-10}\\ \text{cm}. Então
R=248\\ \text{pm}=248\times10^{-10}\\ \text{cm}=2{,}48\times10^{-8}\\ \text{cm}.
Agora uso a=\dfrac{4R}{\sqrt{3}}:
a=\frac{4\cdot(2{,}48\times10^{-8}\\ \text{cm})}{\sqrt{3}} =\frac{9{,}92\times10^{-8}\\ \text{cm}}{1{,}7320508} \approx 5{,}7279\times10^{-8}\\ \text{cm}.

Passo 5

Volume da célula unitária. O volume é V=a^3. Então
V=(5{,}7279\times10^{-8}\\ \text{cm})^3 \approx 1{,}8799\times10^{-22}\\ \text{cm}^3.

Passo 6

Massa da célula unitária. Preciso da massa de um átomo de rubídio. Vou usar a massa atômica molar do rubídio (tabela periódica): M=85{,}4678\\ \text{g/mol} (pode arredondar para 85{,}47\\ \text{g/mol} se preferir). Avogadro vale N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \text{átomos/mol}á. A massa de um átomo é M/N_A e a massa da célula é n\cdot M/N_A com n=2. Assim:
m_{\text{átomo}}=\frac{85{,}4678}{6{,}022\times10^{23}}\\ \text{g}\approx 1{,}4189\times10^{-22}\\ \text{g},á
m_{\text{célula}}=2\cdot m_{\text{átomo}}\approx 2\cdot(1{,}4189\times10^{-22}\\ \text{g}) \approx 2{,}8378\times10^{-22}\\ \text{g}.éá

Passo 7

Calcular a densidade dividindo massa pelo volume:
\rho=\frac{m_{\text{célula}}}{V} =\frac{2{,}8378\times10^{-22}\\ \text{g}}{1{,}8799\times10^{-22}\\ \text{cm}^3} \approx 1{,}5096\\ \text{g/cm}^3.é
Arredondando de forma compatível com medidas experimentais, fica \rho\approx 1{,}51\\ \text{g/cm}^3.

Passo 8

Interpretação e verificação rápida. O valor obtido ( \approx 1{,}51\\ \text{g/cm}^3) está próximo do valor conhecido para o rubídio metálico ( \sim 1{,}53\\ \text{g/cm}^3 à temperatura ambiente), o que mostra que os passos e arredondamentos foram consistentes.

Resposta

1{,}51\\ \text{g/cm}^3

Exercícios relacionados