3.Mostrar que para inteiros positivos m, n ,se tem:
\int x^{m}(\ln x)^{n} d x=\frac{x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}-\frac{n}{m+1} \int x^{m}(\ln x)^{n-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a relação recursiva da integral
\int x^{m}(\ln x)^{n}\,dx
para inteiros positivos m,n. O conteúdo principal aqui é o método de integração por partes.

Passo 2

Em integração por partes escolhemos
u = (\ln x)^{n} \quad\text{e}\quad dv = x^{m}\,dx.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = n\,(\ln x)^{n-1}\,\frac{1}{x}\,dx \quad\text{e}\quad v = \frac{x^{m+1}}{m+1}.

Passo 4

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du
temos
\int x^{m}(\ln x)^{n}\,dx = \frac{x^{m+1}}{m+1}(\ln x)^{n} - \int \frac{x^{m+1}}{m+1}\,n\,(\ln x)^{n-1}\,\frac{1}{x}\,dx.
Fatorando constantes e simplificando x^{m+1}/x=x^{m}, obtemos
\int x^{m}(\ln x)^{n}\,dx = \frac{x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}\,dx.

Resposta

\int x^{m}(\ln x)^{n}\,dx = \frac{x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}\,dx.

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