c) 8 x^{4}+4 x^{2}+4 x+1.
d) 6 x^{4}+8 x^{2}+5 x+1.
12. (Ufrgs 2014) Considere os polinômios p(x)=x^{3} e q(x)=x^{2}+x. O número de soluções da equação p(x)=q(x), no conjunto dos números reais, é
a) 0 .
b) 1 .
c) 2 .

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções reais da equação p(x)=q(x), com
p(x)=x^{3}\quad\text{e}\quad q(x)=x^{2}+x.
Para resolver, vamos igualar as expressões e buscar as raízes da equação resultante.

Passo 2

Igualamos p(x) e q(x) e colocamos tudo num só lado:
x^{3} = x^{2} + x
x^{3} - x^{2} - x = 0.

Passo 3

Fatoramos o polinômio:
x^{3} - x^{2} - x = x\bigl(x^{2} - x - 1\bigr)=0.

Passo 4

As soluções vêm de cada fator:
  • x=0.
  • x^{2} - x - 1=0, cuja discriminante é
\Delta = (-1)^{2} - 4\cdot1\cdot(-1) = 1 + 4 = 5 > 0,
logo há duas raízes reais dadas por
x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.

Passo 5

No total, temos três raízes reais distintas:
x=0,\quad x=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\quad x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

Resposta

3

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