[4, Ex.27-28,p.953] Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.
\int_{-3}^{3} \int_{0}{\sqrt{9-x{2}}} \int_{0}{9-x{2}-y^{2}} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral-3^3integral0^raiz9 - x^2integral0^9 - x^2-y^2 dz,dy,dx
transformando para coordenadas cilíndricas. Vamos usar a mudança
x = rcostheta,;y = rsintheta,;z = z e o Jacobiano dV = r,dz,dr,dtheta.

Passo 2

A projeção no plano xy é o semicírculo de raio 3 com y>=0:
x^2+y^2<=9, y>=0
Em cilíndricas isso vira
0<= r<=3, 0<=theta<=pi

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas a integral fica
integraltheta=0^piintegralr=0^3integralz=0^9 - r^2 r;dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral0^9 - r^2r,dz = rl[zr]0^9 - r^2 = r,(9 - r^2)

Passo 5

Agora em r:
integral0^3r(9 - r^2),dr = integral0^3(9r - r^3),dr = l[tfrac9r^22 - tfracr^44r]0^3 = 814

Passo 6

Finalmente em theta:
integral0^pidtheta = pi
Multiplicando, obtemos
814,pi = 81pi4

Resposta

81pi4

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