[4, Ex.27-28,p.953] Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.
\int_{-3}^{3} \int_{0}{\sqrt{9-x{2}}} \int_{0}{9-x{2}-y^{2}} d z d y d x
\int_{-3}^{3} \int_{0}{\sqrt{9-x{2}}} \int_{0}{9-x{2}-y^{2}} d z d y d x
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
transformando para coordenadas cilíndricas. Vamos usar a mudança
e o Jacobiano
.
Passo 2
A projeção no plano
é o semicírculo de raio
com
:
Em cilíndricas isso vira
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas a integral fica
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Passo 5
Agora em
:
Passo 6
Finalmente em
:
Multiplicando, obtemos