[5.] Quantas soluções da EDO,
y^{\prime}=1-y^{2}
passam pela origem? Quais são essas soluções?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y' = 1 - y^{2}
e pergunta duas coisas: (a) quantas soluções dessa EDO passam pela origem (0,0); (b) quais são essas soluções. Informação explícita: ponto inicial (x,y)=(0,0).

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): esta é uma EDO de primeira ordem autônoma e a função do lado direito f(y)=1-y^{2} é suave (derivável) em todo \mathbb{R}. Duas ideias úteis aqui:
  • Resolver diretamente por separação de variáveis para obter a família geral de soluções e então impor a condição y(0)=0.
  • Usar o teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf): como f(y) é Lipschitz em y num entorno de y=0, a solução do problema de valor inicial y(0)=0 é única. Vou fazer a separação e, ao final, explicar por que não pode haver outras soluções passando pela origem além da que encontrarmos.

Passo 3

Separação de variáveis — passo a passo da técnica e da integral que aparece.
  1. Escreve-se a EDO em forma separável:
\frac{dy}{dx}=1-y^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{1-y^{2}}=dx.
  1. Agora integra-se ambos os lados. Para integrar \dfrac{1}{1-y^{2}} dá para usar frações parciais ou lembrar uma primitiva conhecida. Mostro com frações parciais (para ficar bem claro):
Escreve
\frac{1}{1-y^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1+y}\right).
Verificação rápida: somando as frações do lado direito obtemos \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(1+y)+(1-y)}{1-y^{2}}=\dfrac{1}{1-y^{2}}, certo.
  1. Integrando:
\int\frac{dy}{1-y^{2}} =\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1+y}\right)dy =\frac{1}{2}\bigl(-\ln|1-y|+\ln|1+y|\bigr)+C,
ou escrito de forma combinada,
\frac{1}{2}\ln\!\left|\frac{1+y}{1-y}\right| = x + C.
Observação: esta expressão é equivalente à primitiva \operatorname{arctanh}(y), pois
\operatorname{arctanh}(y)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+y}{1-y}\right)
para |y|<1. Mas a forma com log é mais direta para manipular.

Passo 4

Resolver explicitamente para y.
A partir de
\frac{1}{2}\ln\!\left|\frac{1+y}{1-y}\right| = x + C
multiplica-se por 2 e exponencia-se:
\left|\frac{1+y}{1-y}\right| = e^{2x+2C}.
Definindo K=e^{2C}>0 e removendo o valor absoluto (tratando sinais com K>0), obtemos
\frac{1+y}{1-y} = K e^{2x}.
Resolver essa equação para y:
1+y = (1-y)K e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad y\bigl(1+K e^{2x}\bigr) = K e^{2x}-1,
logo
y(x)=\frac{K e^{2x}-1}{K e^{2x}+1}.
Usando a identidade hiperbólica \operatorname{tanh}(z)=\dfrac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}, a solução geral pode ser escrita de forma mais elegante como
y(x)=\operatorname{tanh}(x+C),
onde o deslocamento C está relacionado com K por K=e^{2C}.
Além dessas soluções não-constantes, note que existem também soluções constantes (equilíbrios) obtidas impondo 1-y^{2}=0, ou seja y\equiv 1 e y\equiv -1.

Passo 5

Impor a condição inicial y(0)=0 para achar quais soluções passam pela origem.
Da forma y(x)=\operatorname{tanh}(x+C), impõe-se
y(0)=\operatorname{tanh}\text{(C)}=0.
A função \operatorname{tanh} tem zero apenas em 0, logo C=0. Assim a solução que satisfaz y(0)=0 é
y(x)=\operatorname{tanh}(x).
Os equilíbrios y\equiv 1 e y\equiv -1 não passam pela origem porque 1\neq 0 e -1\neq 0.

Passo 6

Verificação direta e comentário sobre unicidade (importante para garantir que não exista alguma outra solução “estranha” que também passe pela origem).
  1. Verificação: para y(x)=\operatorname{tanh}(x),
y'(x)=\operatorname{sech}^{2}(x) \quad\text{e}\quad 1-y(x)^{2}=1-\operatorname{tanh}^{2}(x)=\operatorname{sech}^{2}(x),
portanto a EDO é satisfeita e y(0)=\operatorname{tanh}(0)=0.
  1. Unicidade: a função f(y)=1-y^{2} é C^{1} em todo \mathbb{R}, logo é localmente Lipschitz em y. Pelo teorema de existência e unicidade para problemas de valor inicial, o IVP
y'=1-y^{2},\qquad y(0)=0
tem exatamente uma solução local; como aqui tudo é global e suave, essa solução é única em todo \mathbb{R}. Isso impede qualquer outra solução (por exemplo, alguma que fique constante num intervalo e depois mude) de também passar pela origem.

Resposta

Há exatamente uma solução que passa pela origem.
A solução é y(x)=\operatorname{tanh}(x).

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