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Considerando todos os anagramas distintos que se pode formar com todas as letras da palavra MATEMÁTICA e desprezando o acento agudo, a quantidade desses anagramas em que as vogais apareçam todas juntas é igual a
A) 6 !
B) 5 \cdot 6 !
C) 6!/ 4
D) 10!/ 24

Passo 1

O enunciado pede o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA (sem o acento), ou seja, da sequência MATEMATICA, com todas as vogais juntas. O conteúdo envolve permutações com elementos repetidos e o princípio de agrupar objetos.

Passo 2

Identificamos as letras e suas multiplicidades. São 10 letras no total:
– Vogais: três A, uma E e uma I.
– Consoantes: dois M, dois T e um C.

Passo 3

Para forçar as vogais juntas, tratamos o conjunto das cinco vogais como um único “bloco”. Então passamos a ter 6 objetos:
– o bloco de vogais (1 objeto)
– e as 5 consoantes individuais, com M repetido 2 vezes e T repetido 2 vezes.
O número de maneiras de ordenar esses 6 objetos, levando em conta as repetições de M e T, é
\frac{6!}{2!\,2!}\,.

Passo 4

Dentro do bloco, as 5 vogais podem se permutar, mas há 3 A idênticos. O número de arranjos internos é
\frac{5!}{3!}\,.

Passo 5

Pelo princípio multiplicativo, o total de anagramas com as vogais juntas é
\frac{6!}{2!\,2!}\;\times\;\frac{5!}{3!} =\frac{720}{4}\times\frac{120}{6} =180\times20 =3600.
Comparando com as alternativas, temos 3600=5\cdot6!.

Resposta

B) 5\cdot6!

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