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Considerando todos os anagramas distintos que se pode formar com todas as letras da palavra MATEMÁTICA e desprezando o acento agudo, a quantidade desses anagramas em que as vogais apareçam todas juntas é igual a
A) 6 !
B)
!
C)
D)
A) 6 !
B)
C)
D)
Passo 1
O enunciado pede o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA (sem o acento), ou seja, da sequência MATEMATICA, com todas as vogais juntas. O conteúdo envolve permutações com elementos repetidos e o princípio de agrupar objetos.
Passo 2
Identificamos as letras e suas multiplicidades. São
letras no total:
– Vogais: três , uma
e uma
.
– Consoantes: dois , dois
e um
.
– Vogais: três
– Consoantes: dois
Passo 3
Para forçar as vogais juntas, tratamos o conjunto das cinco vogais como um único “bloco”. Então passamos a ter
objetos:
– o bloco de vogais (1 objeto)
– e as 5 consoantes individuais, com repetido 2 vezes e
repetido 2 vezes.
O número de maneiras de ordenar esses 6 objetos, levando em conta as repetições de e
, é
– o bloco de vogais (1 objeto)
– e as 5 consoantes individuais, com
O número de maneiras de ordenar esses 6 objetos, levando em conta as repetições de
Passo 4
Dentro do bloco, as 5 vogais podem se permutar, mas há 3
idênticos. O número de arranjos internos é
Passo 5
Pelo princípio multiplicativo, o total de anagramas com as vogais juntas é
Comparando com as alternativas, temos
.
Resposta
B)