6.42 Se em um sistema fechado em fase gasosa todo o \mathrm{N}_{2} e \mathrm{H}_{2} vêm da dissociação do \mathrm{NH}_{3} de acordo com 2 \mathrm{NH}_{3} \rightleftharpoons \mathrm{~N}_{2}+3 \mathrm{H}_{2}, qual das seguintes afirmativas é verdadeira a qualquer instante durante a reação? (a) x_{\mathrm{N}_{2}}=3 x_{\mathrm{H}_{2}}; (b) 3 x_{\mathrm{N}_{2}}=x_{\mathrm{H}_{2}}; (c) nem (a) nem (b) é necessariamente verdadeira.

Passo 1

O enunciado diz que temos um sistema fechado em fase gasosa e que todo o \mathrm{N}_{2} e todo o \mathrm{H}_{2} presentes vêm da dissociação do \mathrm{NH}_{3} segundo a reação
2\,\mathrm{NH}_{3} \rightleftharpoons \mathrm{N}_{2} + 3\,\mathrm{H}_{2}.
A pergunta é: qual das afirmativas é verdadeira a qualquer instante durante a reação?
(a) \,x_{\mathrm{N}_{2}} = 3\,x_{\mathrm{H}_{2}}\,; (b) \,3\,x_{\mathrm{N}_{2}} = x_{\mathrm{H}_{2}}\,; (c) nem (a) nem (b) é necessariamente verdadeira.
Informações relevantes fornecidas:
  • A estequiometria da reação é 2\,\mathrm{NH}_{3} \rightleftharpoons \mathrm{N}_{2} + 3\,\mathrm{H}_{2}.
  • O sistema é fechado e em fase gasosa.
  • Todo o \mathrm{N}_{2} e \mathrm{H}_{2} presentes foram formados pela dissociação do \mathrm{NH}_{3} (ou seja, não havia \mathrm{N}_{2} nem \mathrm{H}_{2} iniciais vindos de outra fonte).
  • Pergunta: existe uma relação fixa entre as frações molares \,x_{\mathrm{N}_{2}}\, e \,x_{\mathrm{H}_{2}}\, válida a qualquer instante?

Passo 2

Vou introduzir uma variável que facilita muito a resolução: o avanço (ou extensão) da reação. Defino \xi como o número de mols de reação que ocorreram no sentido de formação de \mathrm{N}_{2} e \mathrm{H}_{2}. Explico o que isso significa de forma didática.
O avanço \xi é uma forma padrão de traduzir a estequiometria em variações de quantidade de matéria. Para a reação genérica
\nu_A A + \nu_B B \rightleftharpoons \nu_C C + \nu_D D
se a reação avança de \xi mols no sentido da direita, então a variação do número de mols de cada espécie é \Delta n_i = \nu_i \xi (com sinal negativo se \nu_i for reagente). Aqui \nu_i são os coeficientes estequiométricos algébricos apropriados.
No nosso caso, para a reação
2\,\mathrm{NH}_{3} \rightleftharpoons \mathrm{N}_{2} + 3\,\mathrm{H}_{2},
se a reação avança de \xi mols (formando produtos), os mols formados/consumidos são dados diretamente pela estequiometria.

Passo 3

Agora escrevo as quantidades molares de cada espécie em função do avanço \xi e dos mols iniciais. Como o enunciado afirma que todo o \mathrm{N}_{2} e \mathrm{H}_{2} vêm da dissociação do \mathrm{NH}_{3}, assumimos que inicialmente não havia \mathrm{N}_{2} nem \mathrm{H}_{2}. Seja n_{0} o número de mols iniciais de \mathrm{NH}_{3}. Então, ao avançar \xi mols da reação no sentido de direita:
  • Mols de \mathrm{NH}_{3} restantes: \;n_{\mathrm{NH}_{3}} = n_{0} - 2\,\xi. (Porque a cada \xi mols de avanço, consomem-se 2\xi mols de \mathrm{NH}_{3}.)
  • Mols de \mathrm{N}_{2} formados: \;n_{\mathrm{N}_{2}} = \xi. (Coeficiente estequiométrico 1 no produto.)
  • Mols de \mathrm{H}_{2} formados: \;n_{\mathrm{H}_{2}} = 3\,\xi. (Coeficiente estequiométrico 3 no produto.)
Dou um mini-exemplo numérico para fixar a ideia: se n_{0}=2 mols de \mathrm{NH}_{3} e a reação avança \xi=0{,}5 mol, então n_{\mathrm{NH}_{3}}=2-2\cdot0{,}5=1 mol, n_{\mathrm{N}_{2}}=0{,}5 mol e n_{\mathrm{H}_{2}}=3\cdot0{,}5=1{,}5 mol. Repare que as razões entre n_{\mathrm{H}_{2}} e n_{\mathrm{N}_{2}} obedecem à estequiometria.

Passo 4

Vou explicar o conceito de fração molar e uma propriedade útil. A fração molar de uma espécie i é definida por
x_{i} = \frac{n_{i}}{n_{\text{total}}},
onde n_{\text{total}} é o número total de mols da mistura gasosa:
n_{\text{total}} = n_{\mathrm{NH}_{3}} + n_{\mathrm{N}_{2}} + n_{\mathrm{H}_{2}}.
Uma propriedade simples e muito útil é que a razão entre duas frações molares é igual à razão entre os respectivos números de mols:
\frac{x_{A}}{x_{B}} = \frac{n_{A}}{n_{B}},
porque o denominador comum n_{\text{total}} cancela.
Vou usar exatamente essa propriedade, porque ela evita ter que calcular n_{\text{total}} explicitamente se só queremos uma relação entre x_{\mathrm{N}_{2}} e x_{\mathrm{H}_{2}}.

Passo 5

Calculo a razão entre os números de mols de \mathrm{H}_{2} e \mathrm{N}_{2} usando as expressões do Passo 3:
\frac{n_{\mathrm{H}_{2}}}{n_{\mathrm{N}_{2}}} = \frac{3\,\xi}{\xi} = 3.
Como essa razão vale 3 independentemente de \xi (desde que \xi>0), concluímos que sempre que \mathrm{H}_{2} e \mathrm{N}_{2} presentes vierem da dissociação do \mathrm{NH}_{3},
\frac{n_{\mathrm{H}_{2}}}{n_{\mathrm{N}_{2}}} = 3.

Passo 6

Usando a propriedade do Passo 4 (razão de frações molares = razão de mols), temos
\frac{x_{\mathrm{H}_{2}}}{x_{\mathrm{N}_{2}}} = \frac{n_{\mathrm{H}_{2}}}{n_{\mathrm{N}_{2}}} = 3.
Isolando, obtemos a relação entre as frações molares:
x_{\mathrm{H}_{2}} = 3\,x_{\mathrm{N}_{2}}.
Reescrevendo, isso é exatamente a alternativa (b):
3\,x_{\mathrm{N}_{2}} = x_{\mathrm{H}_{2}}.

Passo 7

Comentário sobre condições e checagem de hipóteses (por que não (a) nem (c)):
  • A alternativa (a) afirma x_{\mathrm{N}_{2}} = 3\,x_{\mathrm{H}_{2}}, o que invertiria a razão; isso corresponderia a \dfrac{x_{\mathrm{H}_{2}}}{x_{\mathrm{N}_{2}}}=\tfrac{1}{3}, contradizendo a estequiometria que dá razão 3. Portanto (a) está errada.
  • A alternativa (c) diz que nem (a) nem (b) é necessariamente verdadeira. Porém mostramos que (b) segue diretamente da estequiometria e da condição de que todo \mathrm{N}_{2} e \mathrm{H}_{2} vêm do \mathrm{NH}_{3}. Logo (c) também está errada.
  • Observação importante: se existisse \mathrm{N}_{2} ou \mathrm{H}_{2} inicial que não viesse do \mathrm{NH}_{3}, a razão entre n_{\mathrm{H}_{2}} e n_{\mathrm{N}_{2}} poderia ser diferente e a relação fixa entre frações molares poderia não valer. Mas o enunciado deixou claro que todo \mathrm{N}_{2} e \mathrm{H}_{2} presentes vêm da dissociação do \mathrm{NH}_{3}, portanto nosso raciocínio é válido.

Resposta

(b)

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