8.43 Os dados obtidos para a fluência estacionária de um ferro sob um nível de tensão de 140 MPa ( 20.000 psi ) são os seguintes:
\dot{\boldsymbol{\epsilon}}\left(\boldsymbol{h}^{-\mathbf{1}}\right) \boldsymbol{T}(\boldsymbol{K})
6,6 \times 10^{-4} 1090
8,8 \times 10^{-2} 1200
Se o valor do expoente de tensão n para essa liga vale 8,5 , calcule a taxa de fluência estacionária a 1300 K e sob um nível de tensão de 83 MPa ( 12.000 psi ).

Passo 1

O enunciado fornece taxas de fluência estacionária \dot{\epsilon} de um ferro sob tensão constante \sigma=140 MPa a duas temperaturas, T_{1}=1090 K e T_{2}=1200 K, valendo respectivamente
\dot{\epsilon}_{1}=6{,}6\times10^{-4}\,\mathrm h^{-1}, \quad \dot{\epsilon}_{2}=8{,}8\times10^{-2}\,\mathrm h^{-1},
e diz que o expoente de tensão é n=8{,}5. Pede-se a taxa de fluência estacionária \dot{\epsilon}_{3} a T_{3}=1300 K e \sigma_{3}=83 MPa. Vamos usar a lei de Arrhenius para fluência:
\dot{\epsilon}=A\,\sigma^{n}\,\exp\!\bigl(-Q/(R\,T)\bigr).

Passo 2

Determinar a energia de ativação Q dividindo as duas equações (mesmo \sigma), pois
\frac{\dot{\epsilon}_{2}}{\dot{\epsilon}_{1}} =\exp\!\Bigl[-\frac{Q}{R}\Bigl(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\Bigr)\Bigr].
Tomando logaritmo,
\ln\!\Bigl(\frac{8{,}8\times10^{-2}}{6{,}6\times10^{-4}}\Bigr) =-\frac{Q}{R}\Bigl(\frac{1}{1200}-\frac{1}{1090}\Bigr).
Calculando
\ln\!\bigl(0{,}088/0{,}00066\bigr)\approx4{,}893, \quad \frac{1}{1090}-\frac{1}{1200}\approx8{,}41\times10^{-5}\,\mathrm K^{-1},
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Q =R\;\frac{4{,}893}{8{,}41\times10^{-5}} \approx8{,}314\;\frac{\mathrm J}{\mathrm{mol\,K}} \times5{,}82\times10^{4} \approx4{,}84\times10^{5}\,\mathrm{J/mol}.

Passo 3

Determinar o fator pré-exponencial A usando o dado (T_{1},\dot{\epsilon}_{1}):
A =\frac{\dot{\epsilon}_{1}}{\sigma^{n}\,\exp(-Q/(R\,T_{1}))} =\frac{6{,}6\times10^{-4}}{(140)^{8{,}5}\,\exp\bigl(-4{,}84\times10^{5}/(8{,}314\cdot1090)\bigr)}.
Calculando numericamente
(140)^{8{,}5}\approx1{,}74\times10^{18}, \quad \exp\bigl(-4{,}84\times10^{5}/(8{,}314\cdot1090)\bigr)\approx7{,}01\times10^{-24},
resulta
A\approx\frac{6{,}6\times10^{-4}}{1{,}74\times10^{18}\times7{,}01\times10^{-24}} \approx5{,}4\times10^{1}.

Passo 4

Calcular a nova taxa \dot{\epsilon}_{3} em \sigma_{3}=83 MPa e T_{3}=1300 K:
\dot{\epsilon}_{3} = A\,(83)^{8{,}5}\,\exp\!\Bigl(-\frac{Q}{R\,T_{3}}\Bigr).
Numericamente
(83)^{8{,}5}\approx1{,}68\times10^{16}, \quad \exp\bigl(-4{,}84\times10^{5}/(8{,}314\cdot1300)\bigr)\approx3{,}24\times10^{-20},
\dot{\epsilon}_{3} \approx54\times1{,}68\times10^{16}\times3{,}24\times10^{-20} \approx2{,}9\times10^{-2}\,\mathrm h^{-1}.

Resposta

\displaystyle \dot{\epsilon}_{3}\approx2{,}9\times10^{-2}\,\mathrm h^{-1}.

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