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Qualquer que seja o número x \in \mathbb{R}, a expressão \sqrt{(4-x)^{2}} tem sempre o mesmo valor que o da expressão
(A) x-4
(B) 4-x
(C) |x-4|
(D) x-2
(E) 2-x

Passo 1

O enunciado dá a expressão \sqrt{(4-x)^{2}} para qualquer x\in\mathbb{R} e pede escolher, entre as alternativas, qual expressão tem sempre o mesmo valor que essa raiz quadrada.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão a comparar é \sqrt{(4-x)^{2}}.
  • As alternativas oferecidas são as expressões listadas nas opções (A) a (E).
    O que é pedido:
  • Determinar qual das expressões das opções tem valor idêntico para todo x\in\mathbb{R} à expressão \sqrt{(4-x)^{2}}.

Passo 2

Entender uma propriedade fundamental: para qualquer número real a vale
\sqrt{a^{2}} = |a|.
Explicação didática: a raiz quadrada principal \sqrt{\cdot} retorna sempre um número não negativo. Quando elevamos a ao quadrado obtemos a^{2}\ge 0. A raiz quadrada positiva de a^{2} é precisamente o valor absoluto de a, porque
  • se a\ge 0 então a^{2} tem raiz não negativa igual a a, logo \sqrt{a^{2}}=a=|a|;
  • se a<0 então a^{2}=(-a)^{2} e a raiz não negativa é -a, que é igual a |a|.
    Assim a igualdade \sqrt{a^{2}}=|a| cobre todos os casos.

Passo 3

Aplicar a propriedade ao nosso caso tomando a=4-x. Temos
\sqrt{(4-x)^{2}} = |\,4-x\,|.
Isto já simplifica bastante: a expressão sob a raiz se transforma no valor absoluto de 4-x.

Passo 4

Usar uma propriedade do valor absoluto: para todo b\in\mathbb{R} vale |-b|=|b|. Aplicando com b=x-4 obtemos
|\,4-x\,| = |-(x-4)| = |\,x-4\,|.
Portanto
\sqrt{(4-x)^{2}} = |\,x-4\,|.

Passo 5

Explicar o significado de |x-4|\) em forma concreta (definição por partes), para que fique claro por que nem sempre é igual a \(x-4\) nem sempre a \(4-x\): \[|x-4| = \begin{cases} x-4, & \text{se } x\ge 4,\\[4pt] 4-x, & \text{se } x<4. \end{cases}
Isto mostra que |x-4|\] coincide com \(x-4 somente quando x\ge 4 e coincide com 4-x somente quando x<4. Portanto nenhuma das expressões x-4 ou 4-x dá o mesmo valor para todo x (cada uma funciona só em uma parte do domínio). As alternativas x-2 e 2-x também não coincidem com |x-4| para todos os x (basta comparar valores, por exemplo para x=4 tem |x-4|=0 enquanto x-2=2).]

Passo 6

Fazer dois exemplos numéricos rápidos para fixar:
  • Se x=5: \sqrt{(4-5)^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}}=\sqrt{1}=1. Também |5-4|=1. Mas 5-4=1 (ok para esse x) e 4-5=-1 (não igual, porque a raiz é +1).
  • Se x=3: \sqrt{(4-3)^{2}}=\sqrt{1}=1. Também |3-4|=1. Porém 3-4=-1 (não igual) e 4-3=1 (igual neste x).
    Esses exemplos mostram claramente que a expressão é o valor absoluto |x-4|, que escolhe o sinal conforme x, enquanto expressões como x-4 ou 4-x isoladas falham em parte do domínio.

Passo 7

Resumo final da resolução passo a passo: pela propriedade geral \sqrt{a^{2}}=|a| e usando a=4-x e a igualdade |4-x|=|x-4|, conclui-se que a expressão original é igual a |x-4| para todo x\in\mathbb{R}. Isso responde qual das alternativas representa sempre o mesmo valor.

Resposta

(C)

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