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Qualquer que seja o número
, a expressão
tem sempre o mesmo valor que o da expressão
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Qualquer que seja o número
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá a expressão
para qualquer
e pede escolher, entre as alternativas, qual expressão tem sempre o mesmo valor que essa raiz quadrada.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão a comparar é
. - As alternativas oferecidas são as expressões listadas nas opções (A) a (E).
O que é pedido: - Determinar qual das expressões das opções tem valor idêntico para todo
à expressão .
Passo 2
Entender uma propriedade fundamental: para qualquer número real
vale
Explicação didática: a raiz quadrada principal
retorna sempre um número não negativo. Quando elevamos
ao quadrado obtemos
. A raiz quadrada positiva de
é precisamente o valor absoluto de
, porque
- se
então tem raiz não negativa igual a , logo ; - se
então e a raiz não negativa é , que é igual a .
Assim a igualdadecobre todos os casos.
Passo 3
Aplicar a propriedade ao nosso caso tomando
. Temos
Isto já simplifica bastante: a expressão sob a raiz se transforma no valor absoluto de
.
Passo 4
Usar uma propriedade do valor absoluto: para todo
vale
. Aplicando com
obtemos
Portanto
Passo 5
Explicar o significado de
Isto mostra que
somente quando
e coincide com
somente quando
. Portanto nenhuma das expressões
ou
dá o mesmo valor para todo
(cada uma funciona só em uma parte do domínio). As alternativas
e
também não coincidem com
para todos os
(basta comparar valores, por exemplo para
tem
enquanto
).]
Passo 6
Fazer dois exemplos numéricos rápidos para fixar:
- Se
: . Também . Mas (ok para esse ) e (não igual, porque a raiz é ). - Se
: . Também . Porém (não igual) e (igual neste ).
Esses exemplos mostram claramente que a expressão é o valor absoluto, que escolhe o sinal conforme , enquanto expressões como ou isoladas falham em parte do domínio.
Passo 7
Resumo final da resolução passo a passo: pela propriedade geral
e usando
e a igualdade
, conclui-se que a expressão original é igual a
para todo
. Isso responde qual das alternativas representa sempre o mesmo valor.
Resposta
(C)