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Um carpinteiro produz peças de madeira maciça em forma de prisma reto. As peças fabricadas não são necessariamente iguais, pois as bases, ainda que sejam sempre quadradas, têm áreas que podem variar de 16 \mathrm{~cm}^{2} a 484 \mathrm{~cm}^{2}.
Sejam x, x e 24-x, respectivamente, as medidas, em cm, das arestas da base quadrada e da altura desses prismas.
Nessas condições, a peça de maior volume que o carpinteiro consegue produzir tem
(A) 968 \mathrm{~cm}^{3}.
(B) 1.536 \mathrm{~cm}^{3}.
(C) 1.859 \mathrm{~cm}^{3}.
(D) 2.048 \mathrm{~cm}^{3}.
(E) 2.252 \mathrm{~cm}^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede e que informações ele dá:
  • Pede o valor do volume máximo que o carpinteiro pode produzir, dado que a base é quadrada e a altura é 24-x.
  • Foi informado que as arestas da base medem x e x (ou seja, o lado do quadrado é x) e a altura é 24-x, todas em centímetros.
  • A área da base varia de 16\\ \mathrm{cm}^2 até 484\\ \mathrm{cm}^2. Como a área da base é x^2, isso significa que 16 \le x^2 \le 484.
  • Como x é uma medida de comprimento positiva, podemos tirar as raízes e obter o intervalo permitido para x: 4 \le x \le 22.
O objetivo final: encontrar, para x variando no intervalo [4,22], o maior valor possível do volume da peça.

Passo 2

Montar a função volume em função de x.
  • A base é um quadrado de lado x, portanto a área da base é x^2.
  • A altura é 24-x.
  • Logo o volume V do prisma como função de x é V(x)=\text{(área da base)}\times\text{(altura)}=x^2(24-x).á
  • Para facilitar certas operações, podemos expandir: V(x)=24x^2 - x^3.
Aqui x é a variável que representa o lado do quadrado (em cm) e V(x) é o volume correspondente (em \mathrm{cm}^3). Nosso domínio é x\in[4,22].

Passo 3

Estratégia para encontrar o máximo em um intervalo fechado.
  • Uma função contínua em um intervalo fechado atinge seu máximo em: (i) pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) ou (ii) nas extremidades do intervalo. Esse é um resultado prático útil na prova (teorema do valor extremo).
  • Nossa V(x) é um polinômio (contínua e diferenciável em todo lugar), então bastará:
    1. Encontrar os pontos críticos de V dentro do intervalo [4,22] resolvendo V'(x)=0.
    2. Avaliar V nesses pontos críticos e também em x=4 e x=22.
    3. Comparar os valores e escolher o maior.
Vou aplicar a regra de derivação para polinômios (regra da potência): a derivada de x^n é n x^{n-1}.

Passo 4

Calcular a derivada V'(x) e achar os pontos críticos.
  • Partindo de V(x)=24x^2 - x^3, aplica-se a regra da potência termo a termo: V'(x)=24\cdot 2x - 3x^2 = 48x - 3x^2.
  • Fatorando: V'(x)=3x(16-x).
  • Zerar a derivada: 3x(16-x)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=16.
  • O ponto x=0 não está no nosso domínio [4,22] (e nem faria sentido físico, pois a área mínima é 16). Então o único ponto crítico relevante é x=16.

Passo 5

Verificar se o ponto crítico é máximo (teste da segunda derivada) e justificar por que o ponto pode ser máximo.
  • Calcule a segunda derivada: V''(x)=\frac{d}{dx}(48x-3x^2)=48-6x.
  • Avaliando em x=16: V''(16)=48-6\cdot 16=48-96=-48.
  • Como V''(16)<0, a concavidade é para baixo em x=16, o que garante que x=16 é um máximo local.
  • Como temos apenas um ponto crítico no interior do intervalo e a função é contínua no intervalo fechado, esse máximo local é candidato a ser o máximo absoluto; compare-o com os valores nas extremidades para confirmar.
(Pequena observação prática: se não lembrar do teste da segunda derivada na prova, basta comparar os valores de V em x=16 e nas extremidades x=4 e x=22.)

Passo 6

Avaliar V em x=16 e nas extremidades x=4 e x=22.
  • Em x=16: V(16)=16^2(24-16)=256\cdot 8=2048.(Mostrando a multiplicação: 256\cdot 8=2{,}048.)
  • Em x=4: V(4)=4^2(24-4)=16\cdot 20=320.
  • Em x=22: V(22)=22^2(24-22)=484\cdot 2=968.

Passo 7

Comparar os valores e concluir qual é o volume máximo.
  • Dos três valores obtidos temos: V(4)=320,\qquad V(16)=2048,\qquad V(22)=968.
  • O maior desses é V(16)=2048. Portanto o volume máximo que o carpinteiro consegue produzir, sujeito às condições dadas, é 2048\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

2048\\ \mathrm{cm}^3

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