45-O empregado de uma transportadora precisa descarregar de dentro do seu caminhão um balcão de 200 kg. Para facilitar a tarefa do empregado, esse tipo de caminhão é dotado de uma rampa, pela qual podem-se deslizar os objetos de dentro do caminhão até o solo sem muito esforço. Considere que o balcão está completamente sobre a rampa e deslizando para baixo. O empregado aplica nele uma força paralela à superfície da rampa, segurando-o, de modo que o balcão desça até o solo com velocidade constante. Desprezando a força de atrito entre o balcão e a rampa, e supondo que esta forme um ângulo de 30^{\circ} com o solo, o módulo da força paralela ao plano inclinado exercida pelo empregado é:
a) 2000 N
b) 1000 \sqrt{3} \mathrm{~N}
c) 2000 \sqrt{3} \mathrm{~N}
d) 1000 N
e) 200 N

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (resumindo bem claro):
  • Um balcão de massa m=200\\ \text{kg} está sobre uma rampa que forma um ângulo de \,30^\circ\, com o solo.
  • O balcão desliza para baixo com velocidade constante (ou seja, não há aceleração escalar ao longo da rampa).
  • A força de atrito é desprezível.
  • O empregado aplica uma força paralela à superfície da rampa, segurando o balcão, de modo que ele desça com velocidade constante.
    O que o problema pede:
  • O módulo da força paralela ao plano inclinado exercida pelo empregado (ou seja, a magnitude da força aplicada paralela ao plano).

Passo 2

Identificar as forças atuando no balcão e decompor o peso:
  • As forças relevantes são:
    • o peso, vertical para baixo, de módulo mg;
    • a força normal, perpendicular à rampa, que chamaremos de N;
    • a força aplicada pelo empregado, paralela ao plano, que chamaremos de F (direção a ser definida; em prática ela aponta para cima do plano para evitar aceleração para baixo).
  • Para analisar o movimento ao longo do plano inclinad o, decompondo o peso em componentes relativas ao plano:
    • componente do peso perpendicular ao plano: mg\cos\theta;
    • componente do peso paralela ao plano (tendendo a puxar o balcão para baixo): mg\sin\theta.
      Explicação do porquê dessas expressões: em um triângulo retângulo formado pela decomposição do vetor peso, o ângulo entre a direção do peso e a normal ao plano é \theta. Assim, a componente perpendicular usa cosseno e a componente paralela usa seno, por definição das razões trigonométricas num triângulo retângulo.

Passo 3

Usar a condição de velocidade constante (equilíbrio dinâmico ao longo do plano):
  • Velocidade constante implica aceleração nula na direção do movimento. Pela segunda lei de Newton, a soma das forças na direção do plano deve ser zero.
  • Escolhendo o sentido positivo para baixo ao longo do plano: \sum F_{\text{na direção do plano}} = mg\sin\theta - F = 0.çãPortanto, F = mg\sin\theta.
Aqui F é o módulo da força aplicada pelo empregado (apontando para cima do plano), m é a massa do balcão, g é a aceleração da gravidade e \theta é o ângulo da rampa.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular:
  • Adotando a aproximação usual g=10\\ \text{m/s}^2 (nota: se fosse usado g=9{,}8\\ \text{m/s}^2 o valor seria 980\\ \text{N}, que não aparece entre as alternativas, então usamos g=10\\ \text{m/s}^2): F = m g \sin\theta = 200 \times 10 \times \sin 30^\circ.
  • Sabendo que \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}, segue F = 200 \times 10 \times \tfrac{1}{2} = 200 \times 5 = 1000\\ \text{N}.

Passo 5

Interpretação final rápida e dica para a prova:
  • O empregado deve exercer uma força de módulo 1000\\ \text{N} paralela ao plano e apontada para cima do plano (ou seja, no sentido contrário ao do deslizamento natural causado pelo peso) para que o balcão deslize com velocidade constante.
  • Dica prática: sempre decompor o peso em mg\sin\theta (paralela) e mg\cos\theta (normal) e usar equilíbrio se a velocidade for constante. Isso resolve a maioria dos problemas desse tipo.

Resposta

1000 N

Exercícios relacionados