-•46 Uma caixa contém N moléculas iguais de um gás, igualmente divididas entre os dois lados da caixa. Para N=50, quais são (a) a multiplicidade W da configuração central, (b) o número total de microestados e (c) a porcentagem do tempo que o sistema passa na configuração central? Para N=100, quais são (d) W da configuração central, (e) o número total de microestados e (f) a porcentagem do tempo que o sistema passa na configuração central? Para N=200, quais são (g) W da configuração central, (h) o número total de microestados e (i) a porcentagem do tempo que o sistema passa na configuração central? (j) O tempo que o sistema passa na configuração central aumenta ou diminui quando N aumenta?

Passo 1

O enunciado trata de um gás ideal com N moléculas que podem estar em dois compartimentos (esquerdo ou direito). Cada distribuição de todas as moléculas é um microestado, logo o número total de microestados é 2^N. A configuração “central” é a que tem exatamente N/2 moléculas em cada lado. Vamos usar combinatória (binomial) para achar a multiplicidade dessa configuração e depois calcular sua probabilidade (porcentagem do tempo).

Passo 2

A multiplicidade da configuração central é o número de formas de escolher N/2 moléculas dentre N, ou seja
W(N) \;=\;\binom{N}{N/2}.
O número total de microestados é
\Omega(N)\;=\;2^N.
A porcentagem do tempo que o sistema passa na configuração central é
P(N)\;=\;\frac{W(N)}{\Omega(N)}\times100\%.

Passo 3

Para N=50:
W(50)=\binom{50}{25}=126410606437752
\Omega(50)=2^{50}=1125899906842624
P(50)=\frac{126410606437752}{1125899906842624}\times100\%\approx11,23\%.

Passo 4

Para N=100:
W(100)=\binom{100}{50}\approx1,00891\times10^{29}
\Omega(100)=2^{100}\approx1,26765\times10^{30}
P(100)=\frac{1,00891\times10^{29}}{1,26765\times10^{30}}\times100\%\approx7,96\%.

Passo 5

Para N=200:
W(200)=\binom{200}{100}\approx9,05485\times10^{58}
\Omega(200)=2^{200}\approx1,60694\times10^{60}
P(200)=\frac{9,05485\times10^{58}}{1,60694\times10^{60}}\times100\%\approx5,64\%.

Passo 6

Comparando P(50), P(100) e P(200), vemos que a porcentagem decresce conforme N aumenta. Isso significa que o sistema passa menos tempo na configuração central quando há mais moléculas.

Resposta

(a) W(50)=126410606437752
(b) \Omega(50)=2^{50}=1125899906842624
(c) P(50)\approx11,23\%
(d) W(100)\approx1,00891\times10^{29}
(e) \Omega(100)=2^{100}\approx1,26765\times10^{30}
(f) P(100)\approx7,96\%
(g) W(200)\approx9,05485\times10^{58}
(h) \Omega(200)=2^{200}\approx1,60694\times10^{60}
(i) P(200)\approx5,64\%
(j) A porcentagem do tempo na configuração central diminui quando N aumenta.

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