46 Distingua a formulação de Fraunhoffer da formulação de Fresnel.

Passo 1

O enunciado pede para diferenciar as formulações de difração de Fresnel e de Fraunhofer, dentro do conteúdo de óptica ondulatória, especialmente usando o princípio de Huygens–Fresnel e suas aproximações para campos no “perto” e no “longe”. Vamos precisar do integral de Kirchhoff e das condições de validade das aproximações para chegar às expressões de Fresnel e de Fraunhofer.

Passo 2

Começamos lembrando o princípio de Huygens–Fresnel e o integral de Kirchhoff. O campo difratado em um ponto P a uma distância z de uma abertura é dado genericamente por uma integral do tipo:
U(P)=e^ikzilambda zintegral duplaaberturaU(Q)expl[ik(x-xi)^2+(y-eta)^22zr],dxi,deta
onde (ξ,η) são coordenadas na abertura e (x,y) no plano de observação, e k=2π/λ.

Passo 3

Na formulação de Fresnel (ou campo próximo) fazemos a aproximação para ondas paraxiais, mas mantemos o termo quadrático de fase na exponencial. Isso significa que usamos o integral acima sem descartar o (x^2+y^2)/(2z) dentro do exponencial. Essa é a difração de Fresnel, válida quando a distância z satisfaz z~O(D^2/λ), sendo D o tamanho da abertura. O padrão difratado depende da distância z e exibe franjas que mudam de posição conforme z varia.

Passo 4

Na formulação de Fraunhofer (ou campo distante) vamos mais longe: além da aproximação paraxial, descartamos o termo quadrático de fase relativo às coordenadas do ponto de observação. O integral simplifica para uma transformada de Fourier bidimensional do campo na abertura:
U(P)proptointegral duplaaberturaU(Q)expl[-i2pilambda z(xi x+eta y)r],dxi,deta
válida quando z≫D^2/λ. Aqui o padrão de difração fica independente de z, e só depende da distribuição de amplitude/ fase na abertura.

Passo 5

Comparando as duas formulações: a de Fresnel é apropriada para distâncias moderadas (campo próximo) e envolve convolução com fator quadrático de fase; a de Fraunhofer é para distâncias muito grandes (campo longe) e reduz-se a uma transformada de Fourier, desprezando a fase quadrática. As condições de validade são distintas e determinam que termos podemos descartar no integral de Kirchhoff.

Resposta

Fresnel: campo próximo, mantém termo quadrático de fase na integral (z~D^2/λ); Fraunhofer: campo distante, descarta esse termo, resultando numa transformada de Fourier (z≫D^2/λ).

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