-••47 Uma caixa contém
moléculas de um gás. A caixa é dividida em três partes iguais. (a) Por extensão da Eq. 20-20, escreva uma fórmula para a multiplicidade de qualquer configuração dada. (b) Considere duas configurações: a configuração
, com números iguais de moléculas nas três divisões da caixa, e a configuração
, com números iguais de moléculas em cada lado da caixa dividida em duas partes iguais, em vez de em três. Qual é a razão
entre a multiplicidade da configuração
e a da configuração
? (c) Calcule
para
. (Como 100 não é divisível por 3 , ponha 34 moléculas em uma das três partes da configuração
e 33 moléculas nas duas outras partes.)
Passo 1
O enunciado trata de uma caixa com
moléculas dividida em três partes iguais.
(a) Queremos a multiplicidade de uma configuração arbitrária
.
(b) Definimos a configuração com números iguais em cada uma das três partes e a configuração
com números iguais nas duas metades de uma divisão em dois. Desejamos a razão
.
(c) Finalmente, avaliaremos numericamente essa razão para , usando
em
.
(a) Queremos a multiplicidade
(b) Definimos a configuração
(c) Finalmente, avaliaremos numericamente essa razão para
Passo 2
Para distribuir
moléculas em três partes com ocupações
usa-se a contagem de permutações dividida pelas permutações internas em cada parte. Assim,
que é a extensão da Eq. 20-20 para três compartimentos.
Passo 3
Na configuração
temos
, logo
Na configuração
dividimos em duas partes iguais de
moléculas cada, portanto
A razão é
Passo 4
Para
tomamos na configuração
as ocupações
. Assim
Usando logaritmos decimais de fatoriais:
obtemos
e portanto
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Para ,
(b)
(c) Para