-••47 Uma caixa contém N moléculas de um gás. A caixa é dividida em três partes iguais. (a) Por extensão da Eq. 20-20, escreva uma fórmula para a multiplicidade de qualquer configuração dada. (b) Considere duas configurações: a configuração A, com números iguais de moléculas nas três divisões da caixa, e a configuração B, com números iguais de moléculas em cada lado da caixa dividida em duas partes iguais, em vez de em três. Qual é a razão W_{A} / W_{B} entre a multiplicidade da configuração A e a da configuração B ? (c) Calcule W_{A} / W_{B} para N=100. (Como 100 não é divisível por 3 , ponha 34 moléculas em uma das três partes da configuração A e 33 moléculas nas duas outras partes.)

Passo 1

O enunciado trata de uma caixa com N moléculas dividida em três partes iguais.
(a) Queremos a multiplicidade W de uma configuração arbitrária (N_1,N_2,N_3).
(b) Definimos a configuração A com números iguais em cada uma das três partes e a configuração B com números iguais nas duas metades de uma divisão em dois. Desejamos a razão W_A/W_B.
(c) Finalmente, avaliaremos numericamente essa razão para N=100, usando (34,33,33) em A.

Passo 2

Para distribuir N moléculas em três partes com ocupações (N_1,N_2,N_3) usa-se a contagem de permutações dividida pelas permutações internas em cada parte. Assim,
W(N_1,N_2,N_3) \;=\;\frac{N!}{N_1!\,N_2!\,N_3!}\,,
que é a extensão da Eq. 20-20 para três compartimentos.

Passo 3

Na configuração A temos N_1=N_2=N_3=N/3, logo
W_A \;=\;\frac{N!}{\bigl(\tfrac{N}{3}!\bigr)^3}\,.
Na configuração B dividimos em duas partes iguais de N/2 moléculas cada, portanto
W_B \;=\;\frac{N!}{\bigl(\tfrac{N}{2}!\bigr)^2}\,.
A razão é
\frac{W_A}{W_B} =\frac{N!/(N/3)!^3}{N!/(N/2)!^2} =\frac{\bigl(\tfrac{N}{2}!\bigr)^2}{\bigl(\tfrac{N}{3}!\bigr)^3}\,.

Passo 4

Para N=100 tomamos na configuração A as ocupações (34,33,33). Assim
\frac{W_A}{W_B} =\frac{50!\;50!}{34!\;33!\;33!}\,.
Usando logaritmos decimais de fatoriais:
\log_{10}(50!)\approx64{,}4831,\quad \log_{10}(34!)\approx37{,}9269,\quad \log_{10}(33!)\approx36{,}3954,
obtemos
\log_{10}\frac{W_A}{W_B} =2\cdot64{,}4831-\bigl(37{,}9269+2\cdot36{,}3954\bigr) \approx18{,}2483
e portanto
\frac{W_A}{W_B}\approx10^{18{,}2483}\approx1{,}8\times10^{18}.

Resposta

(a) \displaystyle W(N_1,N_2,N_3)=\frac{N!}{N_1!\,N_2!\,N_3!}.
(b) \displaystyle \frac{W_A}{W_B}=\frac{\bigl(\tfrac{N}{2}!\bigr)^2}{\bigl(\tfrac{N}{3}!\bigr)^3}.
(c) Para N=100, \displaystyle W_A/W_B\approx1{,}8\times10^{18}.

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