50 Um ciclo de três etapas é realizado por 3,4 \mathrm{~mol} de um gás diatômico ideal: (1) a temperatura do gás é aumentada de 200 K para 500 K a volume constante; (2) o gás é expandido isotermicamente até a pressão original; (3) o gás é contraído a pressão constante de volta ao volume original. Durante o ciclo, as moléculas giram, mas não oscilam. Qual é a eficiência do ciclo?

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo em três etapas realizado por n=3{,}4 mol de gás diatômico ideal que só gira (não oscila). As etapas são:
  1. aquecimento a volume constante de T_1=200 K a T_2=500 K;
  2. expansão isotérmica a T_2=500 K até retornar à pressão inicial P_1;
  3. compressão isobárica a P_1 de volta ao volume inicial.
Para resolver precisamos usar a equação de estado PV=nRT, as capacidades caloríficas de um gás com f=5 graus de liberdade
C_V=\frac{f}{2}R=\frac{5}{2}R, \qquad C_P=C_V+R=\frac{7}{2}R,
e fórmulas de trabalho e calor em processos isocórico, isotérmico e isobárico.

Passo 2

Determinar os estados intermediários em função de P_1 e V_1:
  • Estado 1: (P_1,V_1,T_1).
  • Estado 2 (volume constante): (P_2,V_1,T_2) com P_2 = P_1\frac{T_2}{T_1} = P_1\frac{500}{200}=2{,}5\,P_1.
  • Estado 3 (isotérmico a 500 K até P_1): o volume sobe para V_3 = V_1\frac{P_2}{P_1}=2{,}5\,V_1.
  • Estado 4 (isobárico a P_1 até V_1): a temperatura volta a T_1=200 K.

Passo 3

Calcular o calor trocado em cada etapa:
  1. Isocórico de 200\to500 K:
Q_1 = n\,C_V\,(T_2-T_1) =3{,}4\cdot\frac{5}{2}R\,(500-200) =3{,}4\cdot2{,}5\cdot8{,}314\cdot300 \approx2{,}12\times10^4\text{ J}.
  1. Isotérmico a 500 K:
Q_2 = nRT_2\ln\frac{V_3}{V_1} =3{,}4\cdot8{,}314\cdot500\ln(2{,}5) \approx1{,}30\times10^4\text{ J}.
  1. Isobárico de 500\to200 K (compressão):
Q_3 = n\,C_P\,(T_1-T_2) =3{,}4\cdot\frac{7}{2}R\,(200-500) \approx-2{,}97\times10^4\text{ J}.

Passo 4

O trabalho líquido é W_{\rm net}=Q_1+Q_2+Q_3\approx4{,}47\times10^3 J, e o calor absorvido é
Q_{\rm in}=Q_1+Q_2\approx3{,}42\times10^4\text{ J}.
A eficiência do ciclo é
\eta = \frac{W_{\rm net}}{Q_{\rm in}} \approx \frac{4{,}47\times10^3}{3{,}42\times10^4} \approx0{,}131.

Resposta

A eficiência do ciclo é aproximadamente 13{,}1\%.

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