47-Um motorista,trafegando a 72 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ,avista uma barreira eletrônica que permite velocidade máxima de 40 \mathrm{km} / \mathrm{h} .Quando está a 100 m da barreira,ele aciona continuamente o freio do carro e passa por ela a 36 \mathrm{~km} / \mathrm{h} . Considerando que a massa do carro com os passageiros é de 1000 kg ,qual o módulo da força resultante,suposta constante,sobre o carro ao longo destes 100 m ?
a) 300 N
b) 3000 N
c) 1000 N
d) 1700 N

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Velocidade inicial: v_0 = 72\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade ao passar pela barreira (final): v = 36\\ \mathrm{km/h}.
  • Distância sobre a qual o motorista freia: s = 100\\ \mathrm{m}.
  • Massa do carro com passageiros: m = 1000\\ \mathrm{kg}.
O que é pedido: o módulo da força resultante, suposta constante, atuando sobre o carro ao longo desses 100\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter velocidades de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. A conversão padrão é multiplicar por \dfrac{1000}{3600}=\dfrac{5}{18}. Portanto:
v_0 = 72\\ \mathrm{km/h} = 72\cdot\dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s} = 20\\ \mathrm{m/s},
v = 36\\ \mathrm{km/h} = 36\cdot\dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s} = 10\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: \mathrm{km/h} conta quilômetros por hora; multiplicando por \dfrac{1000}{3600} transformamos quilômetros em metros e horas em segundos.

Passo 3

Para achar a aceleração constante a usamos uma equação do movimento retilíneo com aceleração constante que relaciona velocidades e deslocamento sem envolver o tempo:
v^2 = v_0^2 + 2 a s.
Aqui:
  • v é a velocidade final,
  • v_0 é a velocidade inicial,
  • a é a aceleração (o que queremos achar primeiro),
  • s é o deslocamento na direção do movimento.
Breve justificativa da fórmula: ela vem de eliminar o tempo entre v=v_0+at e s=v_0 t+\tfrac12 a t^2.

Passo 4

Isolando a na fórmula:
a = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2s}.
Substituindo os valores (em \mathrm{m/s} e \mathrm{m}):
a = \dfrac{10^2 - 20^2}{2\cdot 100} = \dfrac{100 - 400}{200} = \dfrac{-300}{200} = -1,5\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação: o sinal negativo indica desaceleração (o carro está reduzindo a velocidade). O módulo da aceleração é |a|=1,5\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Pela segunda lei de Newton, a força resultante constante F é dada por
F = m a.
Queremos o módulo da força, então tomamos o valor absoluto:
|F| = m\,|a| = 1000\\ \mathrm{kg}\times 1,5\\ \mathrm{m/s^2} = 1500\\ \mathrm{N}.
Explicação: a segunda lei diz que uma massa m sujeita a uma aceleração a tem resultante F; aqui a força resultante é a força total (freio + outras forças), e como pedem o módulo, usamos o valor positivo.

Passo 6

Verificação com o teorema energia-trabalho (checagem): variação de energia cinética é
\Delta K = \tfrac12 m (v^2 - v_0^2) = \tfrac12\cdot 1000\cdot(100-400) = \tfrac12\cdot 1000\cdot(-300) = -150000\\ \mathrm{J}.
Se a força resultante constante fez esse trabalho em s=100\\ \mathrm{m}, então
W = F\cdot s \quad\Rightarrow\quad F = \dfrac{W}{s} = \dfrac{-150000}{100} = -1500\\ \mathrm{N},
módulo |F|=1500\\ \mathrm{N}. Confere com o cálculo anterior.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas:
a) 300\\ \mathrm{N}
b) 3000\\ \mathrm{N}
c) 1000\\ \mathrm{N}
d) 1700\\ \mathrm{N}
O valor correto calculado é 1500\\ \mathrm{N}, que não coincide exatamente com nenhuma das alternativas; a alternativa mais próxima é a (d) 1700\\ \mathrm{N}, mas o valor correto é 1500\\ \mathrm{N}.

Resposta

1500\\ \mathrm{N} (nenhuma das alternativas fornecidas)

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