48 Dois cubos do mesmo material e arestas “a” e " 2 a " estão nas temperaturas T e 2 T respectivamente. Eles são colocadas em contato por uma das suas faces e por um certo tempo, até o equilíbrio ser atingido. Determine a temperatura de equilíbrio.
49 Determine a temperatura de equilíbrio da mistura de 992 g de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C} e 160 g de vapor de água a 100^{\circ} \mathrm{C} .0 recipiente é termicamente isolado e por isso não ganhar ou perder calor. ( \mathrm{L}_{\mathrm{F}}=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}, \mathrm{L}_{\mathrm{V}}=540 \mathrm{cal} / \mathrm{g} )

Passo 1

Problema 48: Dois cubos feitos do mesmo material têm arestas a e 2a. As temperaturas iniciais são T para o cubo de aresta a e 2T para o cubo de aresta 2a. Eles são colocados em contato por uma face até atingirem equilíbrio térmico. Pergunta: determinar a temperatura de equilíbrio T_f.
Problema 49: Mistura isolada (recipiente termicamente isolado) de 992\\ \mathrm{g} de gelo a 0^\circ\mathrm{C} e 160\\ \mathrm{g} de vapor a 100^\circ\mathrm{C}. Constantes: L_F=80\\ \mathrm{cal/g} (calor latente de fusão) e L_V=540\\ \mathrm{cal/g} (calor latente de vaporização). Pergunta: determinar a temperatura de equilíbrio final da mistura.

Passo 2

Resolvendo o Problema 48 — primeiro passo físico e geométrico: como os cubos são do mesmo material, têm mesma densidade e calor específico c. A massa de um corpo é proporcional ao seu volume. Volumes dos cubos:
V_1 = a^3,\qquad V_2 = (2a)^3 = 8a^3.
Portanto as massas têm razão m_1:m_2 = 1:8. Denotemos m_1 = m e m_2 = 8m. As temperaturas iniciais são T_1=T e T_2=2T. Seja T_f a temperatura final no equilíbrio.

Passo 3

Princípio de conservação de energia térmica (isolamento térmico entre os corpos): o calor total trocado é zero, ou seja, o calor perdido pelo corpo mais quente é igual ao calor ganho pelo corpo mais frio. Para corpos com calor específico c constante, o calor trocado por cada corpo é Q = m c (T_f - T_{\text{inicial}}). Montando a equação de balanço térmico:
m c (T_f - T) + 8m c (T_f - 2T) = 0.
Aqui o primeiro termo é o calor absorvido pelo cubo menor (pode ser positivo) e o segundo é o calor absorvido pelo cubo maior (será negativo se ele perder calor). Agora simplificamos: m e c são comuns e não nulos, então podemos dividir por eles:
(T_f - T) + 8 (T_f - 2T) = 0.

Passo 4

Continuando a álgebra do Problema 48: expandindo e agrupando termos em T_f e T:
T_f - T + 8T_f - 16T = 0
9T_f - 17T = 0
T_f = \frac{17}{9}\,T.
Comentário didático: para dois corpos com mesmo c a temperatura de equilíbrio é a média ponderada pelas massas,
T_f = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2},
o que dá aqui T_f=(1\cdot T + 8\cdot 2T)/(1+8)=17T/9. Pronto — resposta do primeiro problema obtida.

Passo 5

Resolvendo o Problema 49 — estratégia: calcular quanto de calor o vapor pode ceder ao condensar e ao esfriar, comparar com quanto de calor é necessário para fundir todo o gelo. Se o calor cedido for suficiente para fundir todo o gelo, o restante aquece a água resultante; caso contrário, haverá mistura de água e gelo a 0^\circ\mathrm{C}. Valores usados: calor específico da água c_{\mathrm{água}}=1\\ \mathrm{cal/g^\circ C}á, latentes dadas.

Passo 6

Calor liberado pela condensação do vapor (de vapor a água a 100^\circ\mathrm{C}):
Q_{\mathrm{cond}} = m_{\mathrm{v}} L_V = 160\cdot 540\\ \mathrm{cal} = 86400\\ \mathrm{cal}.

Passo 7

Se o vapor condensar, a água formada a 100^\circ\mathrm{C} pode ainda ceder calor ao esfriar até 0^\circ\mathrm{C}. Calor liberado ao esfriar essa massa de 160\\ \mathrm{g} de 100^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\mathrm{esfria}} = m_{\mathrm{v}} c_{\mathrm{água}} (100-0) = 160\cdot 1\cdot 100\\ \mathrm{cal} = 16000\\ \mathrm{cal}.á

Passo 8

Calor total que o vapor (ao condensar e esfriar até 0^\circ\mathrm{C}) pode fornecer:
Q_{\mathrm{fornecido}} = Q_{\mathrm{cond}} + Q_{\mathrm{esfria}} = 86400 + 16000 = 102400\\ \mathrm{cal}.

Passo 9

Calor necessário para derreter todo o gelo ( 992\\ \mathrm{g} a 0^\circ\mathrm{C}):
Q_{\mathrm{fusão}} = m_{\mathrm{gelo}} L_F = 992\cdot 80\\ \mathrm{cal} = 79360\\ \mathrm{cal}.ã

Passo 10

Comparando: Q_{\mathrm{fornecido}} = 102400\\ \mathrm{cal} é maior que Q_{\mathrm{fusão}} = 79360\\ \mathrm{cal}ã. Conclusão: o calor liberado pelo vapor é suficiente para fundir todo o gelo. Após fundir todo o gelo, sobra energia que aquece a água resultante.

Passo 11

Energia restante depois de fundir todo o gelo:
Q_{\mathrm{restante}} = Q_{\mathrm{fornecido}} - Q_{\mathrm{fusão}} = 102400 - 79360 = 23040\\ \mathrm{cal}.ã
Massa total de água final:
m_{\mathrm{total}} = 992 + 160 = 1152\\ \mathrm{g}.
A elevação de temperatura resultante (a partir de 0^\circ\mathrm{C}) é
\Delta T = \frac{Q_{\mathrm{restante}}}{m_{\mathrm{total}} c_{\mathrm{água}}} = \frac{23040}{1152\cdot 1} = 20^\circ\mathrm{C}.á
Portanto a temperatura final é
T_f = 0^\circ\mathrm{C} + 20^\circ\mathrm{C} = 20^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_f=\dfrac{17}{9}\,T
20^\circ\mathrm{C}

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