48 Dois cubos do mesmo material e arestas “a” e " 2 a " estão nas temperaturas T e 2 T respectivamente. Eles são colocadas em contato por uma das suas faces e por um certo tempo, até o equilíbrio ser atingido. Determine a temperatura de equilíbrio.
49 Determine a temperatura de equilíbrio da mistura de 992 g de gelo a
e 160 g de vapor de água a
recipiente é termicamente isolado e por isso não ganhar ou perder calor. (
)
Passo 1
Problema 48: Dois cubos feitos do mesmo material têm arestas
e
. As temperaturas iniciais são
para o cubo de aresta
e
para o cubo de aresta
. Eles são colocados em contato por uma face até atingirem equilíbrio térmico. Pergunta: determinar a temperatura de equilíbrio
.
Problema 49: Mistura isolada (recipiente termicamente isolado) de
de gelo a
e
de vapor a
. Constantes:
(calor latente de fusão) e
(calor latente de vaporização). Pergunta: determinar a temperatura de equilíbrio final da mistura.
Passo 2
Resolvendo o Problema 48 — primeiro passo físico e geométrico: como os cubos são do mesmo material, têm mesma densidade e calor específico
. A massa de um corpo é proporcional ao seu volume. Volumes dos cubos:
Portanto as massas têm razão
. Denotemos
e
. As temperaturas iniciais são
e
. Seja
a temperatura final no equilíbrio.
Passo 3
Princípio de conservação de energia térmica (isolamento térmico entre os corpos): o calor total trocado é zero, ou seja, o calor perdido pelo corpo mais quente é igual ao calor ganho pelo corpo mais frio. Para corpos com calor específico
constante, o calor trocado por cada corpo é
. Montando a equação de balanço térmico:
Aqui o primeiro termo é o calor absorvido pelo cubo menor (pode ser positivo) e o segundo é o calor absorvido pelo cubo maior (será negativo se ele perder calor). Agora simplificamos:
e
são comuns e não nulos, então podemos dividir por eles:
Passo 4
Continuando a álgebra do Problema 48: expandindo e agrupando termos em
e
:
Comentário didático: para dois corpos com mesmo
a temperatura de equilíbrio é a média ponderada pelas massas,
o que dá aqui
. Pronto — resposta do primeiro problema obtida.
Passo 5
Resolvendo o Problema 49 — estratégia: calcular quanto de calor o vapor pode ceder ao condensar e ao esfriar, comparar com quanto de calor é necessário para fundir todo o gelo. Se o calor cedido for suficiente para fundir todo o gelo, o restante aquece a água resultante; caso contrário, haverá mistura de água e gelo a
. Valores usados: calor específico da água
, latentes dadas.
Passo 6
Calor liberado pela condensação do vapor (de vapor a água a
):
Passo 7
Se o vapor condensar, a água formada a
pode ainda ceder calor ao esfriar até
. Calor liberado ao esfriar essa massa de
de
até
:
Passo 8
Calor total que o vapor (ao condensar e esfriar até
) pode fornecer:
Passo 9
Calor necessário para derreter todo o gelo (
a
):
Passo 10
Comparando:
é maior que
. Conclusão: o calor liberado pelo vapor é suficiente para fundir todo o gelo. Após fundir todo o gelo, sobra energia que aquece a água resultante.
Passo 11
Energia restante depois de fundir todo o gelo:
Massa total de água final:
A elevação de temperatura resultante (a partir de
) é
Portanto a temperatura final é