46 Em um processo industrial, duas esferas de cobre maciças,
e
, com raios
e
, inicialmente à temperatura de
, permaneceram em um forno muito quente durante períodos diferentes. Constatou-se que a esfera A, ao ser retirada, havia atingido a temperatura de
. Tendo ambas recebido a mesma quantidade de calor, determine a temperatura da esfera B, ao ser retirada do forno.
47 Diz-se que a energia mínima que um ser humano necessita para sobreviver é de 3000 kcal diárias. Se esta energia fosse gasta para manter uma lâmpada acesa, qual seria a potência (em watts) que ela dissiparia?
Passo 1
Problema 46: foi dado que duas esferas maciças de cobre
e
têm raios
e
, ambas inicialmente à temperatura
. A esfera
foi ao forno e, ao ser retirada, estava a
. As duas esferas receberam a mesma quantidade de calor
. A pergunta é: qual a temperatura da esfera
quando for retirada do forno?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
. - Temperatura inicial comum:
. - Temperatura final da esfera
: . - As duas esferas receberam a mesma quantidade de calor
. - As esferas são de cobre maciço (mesmo material, portanto mesma densidade e mesmo calor específico por massa).
Problema 47: foi dado que a energia mínima diária necessária é de
por dia. A pergunta é: se essa energia fosse gasta para manter uma lâmpada acesa, qual seria a potência (em watts) que ela dissiparia?
Informações relevantes:
- Energia diária
. - Queremos potência média
em (watts), onde . - Conversão necessária:
. - Um dia tem
horas segundos.
Passo 2
Vamos resolver o problema 46 começando pela fórmula básica da troca de calor em um corpo sólido quando sua temperatura varia: a quantidade de calor absorvida é dada por
onde:
-
é a energia térmica recebida (em joules, por exemplo), -
é a massa do corpo (em kg), -
é o calor específico do material (em ), -
é a variação de temperatura do corpo (em ), isto é, .
Explicando essa fórmula de um jeito tranquilo: o calor específico
diz quanto de energia é preciso para elevar a temperatura de 1 quilograma do material em
. Multiplicando por
e pela variação de temperatura obtemos a energia total necessária.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao problema: como as esferas são do mesmo material (cobre), têm o mesmo
e a mesma densidade
. A massa de cada esfera é
, onde
é o volume da esfera. O volume de uma esfera de raio
é
Então, para cada esfera:
Como o enunciado diz que ambas receberam a mesma quantidade de calor
, podemos igualar as expressões para
e
:
Passo 4
Perceba que em ambos os lados aparecem os fatores
e
, que são iguais para as duas esferas; podemos cancelar esses fatores. Assim ficamos com
Substituindo
(observe que o fator
também cancela entre
e
), obtemos
Essa é a relação chave: para receberem o mesmo calor, a variação de temperatura é inversamente proporcional ao volume (ou ao cubo do raio).
Passo 5
Isolando
na equação acima:
portanto
Agora substituímos os valores numéricos dados:
,
,
,
. Primeiro calcule a razão dos raios ao cubo:
Passo 6
Calcule a variação de temperatura de
:
Logo,
Interpretação amigável: a esfera
é muito menor (metade do raio), então para receber a mesma quantidade de calor que a esfera maior ela precisa aquecer bem mais — por isso chega a uma temperatura bem alta.
Passo 7
Agora resolvemos o problema 47. Definição rápida e prática: potência média é energia por unidade de tempo. Assim,
onde
é potência em watts (
),
é energia em joules (
) e
é tempo em segundos (
).
Aqui
é a energia diária
. Primeiro convertemos para joules usando
:
Passo 8
Calcule
numericamente:
O intervalo de tempo é um dia:
Agora a potência média:
Passo 9
Faça a divisão (vou mostrar passo a passo para você conseguir reproduzir sem calculadora com aproximação): dividindo,
Arredondando com uma precisão razoável (duas casas decimais ou uma, dependendo do que preferir), podemos escrever
Interpretação amigável: isso quer dizer que gastar
por dia corresponde a manter uma lâmpada de potência da ordem de
acesa continuamente durante 24 horas.