46 Em um processo industrial, duas esferas de cobre maciças, A e B, com raios R_{A}=16 \mathrm{~cm} e R_{B}=8 \mathrm{~cm}, inicialmente à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}, permaneceram em um forno muito quente durante períodos diferentes. Constatou-se que a esfera A, ao ser retirada, havia atingido a temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C}. Tendo ambas recebido a mesma quantidade de calor, determine a temperatura da esfera B, ao ser retirada do forno.
47 Diz-se que a energia mínima que um ser humano necessita para sobreviver é de 3000 kcal diárias. Se esta energia fosse gasta para manter uma lâmpada acesa, qual seria a potência (em watts) que ela dissiparia?

Passo 1

Problema 46: foi dado que duas esferas maciças de cobre A e B têm raios R_{A}=16\\ \mathrm{cm} e R_{B}=8\\ \mathrm{cm}, ambas inicialmente à temperatura 20^\circ\mathrm{C}. A esfera A foi ao forno e, ao ser retirada, estava a 100^\circ\mathrm{C}. As duas esferas receberam a mesma quantidade de calor Q. A pergunta é: qual a temperatura da esfera B quando for retirada do forno?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • R_{A}=16\\ \mathrm{cm}.
  • R_{B}=8\\ \mathrm{cm}.
  • Temperatura inicial comum: T_0=20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final da esfera A: T_A=100^\circ\mathrm{C}.
  • As duas esferas receberam a mesma quantidade de calor Q.
  • As esferas são de cobre maciço (mesmo material, portanto mesma densidade e mesmo calor específico por massa).
Problema 47: foi dado que a energia mínima diária necessária é de 3000\\ \mathrm{kcal} por dia. A pergunta é: se essa energia fosse gasta para manter uma lâmpada acesa, qual seria a potência (em watts) que ela dissiparia?
Informações relevantes:
  • Energia diária E_{\text{dia}}=3000\\ \mathrm{kcal}.
  • Queremos potência média P em \mathrm{W} (watts), onde 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J/s}.
  • Conversão necessária: 1\\ \mathrm{kcal}=4184\\ \mathrm{J}.
  • Um dia tem 24 horas =86400 segundos.

Passo 2

Vamos resolver o problema 46 começando pela fórmula básica da troca de calor em um corpo sólido quando sua temperatura varia: a quantidade de calor absorvida é dada por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é a energia térmica recebida (em joules, por exemplo),
  • m é a massa do corpo (em kg),
  • c é o calor específico do material (em \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}),
  • \Delta T é a variação de temperatura do corpo (em ^\circ\mathrm{C}), isto é, \Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{inicial}}.
Explicando essa fórmula de um jeito tranquilo: o calor específico c diz quanto de energia é preciso para elevar a temperatura de 1 quilograma do material em 1^\circ\mathrm{C}. Multiplicando por m e pela variação de temperatura obtemos a energia total necessária.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao problema: como as esferas são do mesmo material (cobre), têm o mesmo c e a mesma densidade \rho. A massa de cada esfera é m=\rho V, onde V é o volume da esfera. O volume de uma esfera de raio R é
V=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Então, para cada esfera:
Q = (\rho V)c\,(T_{\text{final}}-T_{0}).
Como o enunciado diz que ambas receberam a mesma quantidade de calor Q, podemos igualar as expressões para A e B:
\rho V_{A} c (T_A - T_0) = \rho V_{B} c (T_B - T_0).

Passo 4

Perceba que em ambos os lados aparecem os fatores \rho e c, que são iguais para as duas esferas; podemos cancelar esses fatores. Assim ficamos com
V_{A}\,(T_A - T_0) = V_{B}\,(T_B - T_0).
Substituindo V=\dfrac{4}{3}\pi R^{3} (observe que o fator \dfrac{4}{3}\pi também cancela entre V_A e V_B), obtemos
R_{A}^{3}\,(T_A - T_0) = R_{B}^{3}\,(T_B - T_0).
Essa é a relação chave: para receberem o mesmo calor, a variação de temperatura é inversamente proporcional ao volume (ou ao cubo do raio).

Passo 5

Isolando T_B na equação acima:
T_B - T_0 = \frac{R_{A}^{3}}{R_{B}^{3}}\,(T_A - T_0),
portanto
T_B = T_0 + \frac{R_{A}^{3}}{R_{B}^{3}}\,(T_A - T_0).
Agora substituímos os valores numéricos dados: R_{A}=16\\ \mathrm{cm}, R_{B}=8\\ \mathrm{cm}, T_A=100^\circ\mathrm{C}, T_0=20^\circ\mathrm{C}. Primeiro calcule a razão dos raios ao cubo:
\frac{R_{A}^{3}}{R_{B}^{3}} = \left(\frac{16}{8}\right)^{3} = 2^{3} = 8.

Passo 6

Calcule a variação de temperatura de A:
T_A - T_0 = 100^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 80^\circ\mathrm{C}.
Logo,
T_B = 20^\circ\mathrm{C} + 8 \times 80^\circ\mathrm{C} = 20^\circ\mathrm{C} + 640^\circ\mathrm{C} = 660^\circ\mathrm{C}.
Interpretação amigável: a esfera B é muito menor (metade do raio), então para receber a mesma quantidade de calor que a esfera maior ela precisa aquecer bem mais — por isso chega a uma temperatura bem alta.

Passo 7

Agora resolvemos o problema 47. Definição rápida e prática: potência média é energia por unidade de tempo. Assim,
P = \frac{E}{\Delta t},
onde P é potência em watts ( \mathrm{W}), E é energia em joules ( \mathrm{J}) e \Delta t é tempo em segundos ( \mathrm{s}).
Aqui E é a energia diária E_{\text{dia}}=3000\\ \mathrm{kcal}. Primeiro convertemos para joules usando 1\\ \mathrm{kcal}=4184\\ \mathrm{J}:
E_{\text{dia}} = 3000\\ \mathrm{kcal} \times 4184\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kcal}} = 3000 \times 4184\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Calcule E_{\text{dia}} numericamente:
E_{\text{dia}} = 3000 \times 4184 = 12\,552\,000\\ \mathrm{J}.
O intervalo de tempo é um dia:
\Delta t = 24\\ \mathrm{h} = 24\times 3600\\ \mathrm{s} = 86\,400\\ \mathrm{s}.
Agora a potência média:
P = \frac{12\,552\,000\\ \mathrm{J}}{86\,400\\ \mathrm{s}}.

Passo 9

Faça a divisão (vou mostrar passo a passo para você conseguir reproduzir sem calculadora com aproximação): dividindo,
P \approx 145{,}277\ldots\\ \mathrm{W}.
Arredondando com uma precisão razoável (duas casas decimais ou uma, dependendo do que preferir), podemos escrever
P \approx 145{,}28\\ \mathrm{W}.
Interpretação amigável: isso quer dizer que gastar 3000\\ \mathrm{kcal} por dia corresponde a manter uma lâmpada de potência da ordem de 145\\ \mathrm{W} acesa continuamente durante 24 horas.

Resposta

T_B = 660^\circ\mathrm{C}
P \approx 145{,}28\\ \mathrm{W}

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