1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(j) toda seqüência alternada é divergente;
Passo 1
O enunciado pergunta se “toda sequência alternada é divergente”. Aqui o conteúdo é convergência e divergência de sequências numéricas. Vamos lembrar a definição de sequência alternada e o critério de convergência pelo limite.
Passo 2
Uma sequência diz-se alternada se os sinais dos seus termos mudam de um para o outro, por exemplo quando
com . Para dizer que converge, precisamos ter
existente e finito; caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Para refutar a afirmação, basta um contra-exemplo de sequência alternada que converge. Considere
Esta sequência é alternada porque cada termo troca de sinal, mas o seu módulo é , que tende a zero.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
pois . Logo (an) converge a zero apesar de ser alternada.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é an = (-1)^n/n, que é alternada mas converge a zero.