1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(j) toda seqüência alternada é divergente;

Passo 1

O enunciado pergunta se “toda sequência alternada é divergente”. Aqui o conteúdo é convergência e divergência de sequências numéricas. Vamos lembrar a definição de sequência alternada e o critério de convergência pelo limite.

Passo 2

Uma sequência (an) diz-se alternada se os sinais dos seus termos mudam de um para o outro, por exemplo quando
an = (-1)^n bn
com bn>0. Para dizer que (an) converge, precisamos ter
limntoinftyan
existente e finito; caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Para refutar a afirmação, basta um contra-exemplo de sequência alternada que converge. Considere
an = (-1)^nn
Esta sequência é alternada porque cada termo troca de sinal, mas o seu módulo é tfrac1n, que tende a zero.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
limntoinftyan =limntoinfty(-1)^nn =0,
pois l|(-1)^n/nr|=1/nto0. Logo (an) converge a zero apesar de ser alternada.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é an = (-1)^n/n, que é alternada mas converge a zero.

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