3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(x-3)^{4 n}}{n^{1 / n}}\'

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(x-3)^{4n}}{n^{1/n}}.
O conteúdo é teste de convergência de séries de potências, e vamos usar o teste da raiz para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Seja
a_n(x)=\frac{(-1)^{n+1}(x-3)^{4n}}{n^{1/n}}.
O teste da raiz diz que definimos
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n(x)\bigr|}.
Aqui
\sqrt[n]{\bigl|a_n(x)\bigr|} =\frac{\sqrt[n]{|(x-3)^{4n}|}}{\sqrt[n]{n^{1/n}}} =\frac{|x-3|^4}{n^{1/n^2}}.
Como n^{1/n^2}\to1 quando n\to\infty, temos
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n(x)\bigr|} =|x-3|^4.

Passo 3

O teste da raiz garante convergência se L<1, ou seja
|x-3|^4<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-3|<1.
Logo o raio de convergência é R=1 e o intervalo central é
2<x<4.

Passo 4

Agora analisamos os extremos. Para x=4 ou x=2 temos (x-3)^{4n}=1, de modo que
a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n^{1/n}}.
Mas \lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1, então
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{1}{n^{1/n}} \not=0.
Como o termo geral não tende a zero, a série não converge nem em x=4, nem em x=2.

Resposta

O intervalo de convergência é (2,4).

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