3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências: \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \operatorname{arctg} n
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}\,\arctan(n).
O conteúdo é o cálculo do raio de convergência de uma série de potências e a verificação nos extremos do intervalo. Vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois checar x=1 e x=-1.
Passo 2
Seja a_{n}=\arctan(n). Pelo teste da razão, consideramos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}\,x^{\,n+1}}{a_{n}\,x^{\,n}}\right| \;=\;|x|\;\lim_{n\to\infty}\frac{\arctan(n+1)}{\arctan(n)}.
Como \arctan(n)\to\pi/2 e o quociente \arctan(n+1)/\arctan(n)\to1, obtemos
L = |x|\cdot1 = |x|.
A série converge se L<1, ou seja, se |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Verificação em x=1: a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\arctan(n).
Como \arctan(n)\to\pi/2\neq0, os termos não tendem a zero e a série dá diverge (critério de termo geral).
Passo 4
Verificação em x=-1: a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\arctan(n).
Aqui também \arctan(n)\to\pi/2\neq0, então o termo geral (-1)^{n}\arctan(n) não tende a zero, e a série dá diverge.