3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo aqui é teste da raiz para séries de potências, pois temos uma “
-ésima potência” em
.
Passo 2
Escrevemos o termo geral da série como
e aplicamos o teste da raiz, que diz: calcular
Aqui
então
Passo 3
Como
n^1/n^2 = e^(ln n)/n^2to e^0=1 , o limite do teste da raiz é
A série converge se
L<1 , diverge se
L>1 . Logo a condição de convergência é
Passo 4
Falta verificar os extremos
x=2 e
x=4 . Em ambos temos
l|x-3r|=1 , de modo que o termo geral vira
Mas
n^1/nto1 , então
l|anr|to1neq0 . Como os termos não tendem a zero, a série diverge nos dois extremos.
Resposta
O intervalo de convergência é