3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n+1(x-3)^4 nn^1 / n .

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(-1)^n+1(x-3)^4nn^1/n
O conteúdo aqui é teste da raiz para séries de potências, pois temos uma “ n-ésima potência” em (x-3).

Passo 2

Escrevemos o termo geral da série como
an = (-1)^n+1(x-3)^4nn^1/n,
e aplicamos o teste da raiz, que diz: calcular
L = limntoinftyraiz[n]l|anr|
Aqui
l|anr| = l|(x-3)^4nr|n^1/n = l|x-3r|^4nn^1/n,
então
raiz[n]l|anr| = l|x-3r|^4l(n^1/nr)^1/n = l|x-3r|^4n^1/n^2

Passo 3

Como n^1/n^2 = e^(ln n)/n^2to e^0=1, o limite do teste da raiz é
L = limntoinftyraiz[n]l|anr| = l|x-3r|^4
A série converge se L<1, diverge se L>1. Logo a condição de convergência é
l|x-3r|^4 < 1 Long<=ftrightarrow l|x-3r|<1 Long<=ftrightarrow 2 < x < 4

Passo 4

Falta verificar os extremos x=2 e x=4. Em ambos temos l|x-3r|=1, de modo que o termo geral vira
an = (-1)^n+1cdot1^nn^1/n = (-1)^n+1n^1/n
Mas n^1/nto1, então l|anr|to1neq0. Como os termos não tendem a zero, a série diverge nos dois extremos.

Resposta

O intervalo de convergência é
(2,,4)

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