(1,0 ponto) Seja
contínua. Mostre que se
então
.
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua e que, para quaisquer
,
Queremos mostrar que isso implica
para todo
. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e propriedades de derivadas.
Passo 2
Definimos uma função auxiliar
para todo
. Como
é contínua,
é bem-definida e continuamente diferenciável no intervalo.
Passo 3
Pela hipótese, para qualquer
temos
Da igualdade
segue
para todo
.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
é
Como
identicamente, sua derivada também é zero:
para todo
.
Resposta
Portanto,
para todo
.