(1,0 ponto) Seja f:[a, b] R contínua. Mostre que se integralx^y f(s) d s=0, forall x, y in[a, b] então f(x)=0, forall x in[a, b].

Passo 1

O enunciado diz que fcolon [a,b]toR é contínua e que, para quaisquer x,yin[a,b],
integralx^yf(s),ds = 0
Queremos mostrar que isso implica f(x)=0 para todo xin[a,b]. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e propriedades de derivadas.

Passo 2

Definimos uma função auxiliar
F(x) = integrala^x f(s),ds,
para todo xin[a,b]. Como f é contínua, F é bem-definida e continuamente diferenciável no intervalo.

Passo 3

Pela hipótese, para qualquer xin[a,b] temos
F(x) = integrala^x f(s),ds = integralx^a f(s),ds = -integrala^x f(s),ds = -F(x)
Da igualdade F(x) = -F(x) segue F(x)=0 para todo x.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de F é
F'(x) = f(x)
Como F(x)=0 identicamente, sua derivada também é zero:
F'(x)=0 Longrightarrow f(x)=0
para todo xin[a,b].

Resposta

Portanto, f(x)=0 para todo xin[a,b].

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