2.4C Determine, caso exista algum, todos os números reais
e
que tornam as séries
e
convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência, em função de parâmetros reais, de duas séries infinitas:
a)
a)
b)
O conteúdo necessário envolve o teste da divergência (analisar se o termo geral tende a zero), comparação assintótica com séries-p e o teste da integral para séries que envolvem
.
Passo 2
Para a primeira série, observe o termo geral:
Para
grande,
cresce como
, logo
Como
para todo real
, o termo geral não tende a zero e a série diverge para qualquer
.
Passo 3
Para a segunda série, a forma
sugere usar o teste da integral. Considere
Fazendo a substituição
, temos
,
e
, então
Esse integral converge se, e somente se, o expoente
for negativo, isto é,
. Para
a integral (e portanto a série) diverge.
Passo 4
Podemos reforçar:
- Se
, então para grande e converge ( -série com ), logo a série original converge. - Se
, ou o termo não tende a zero ( ) ou o teste da integral mostra divergência ( ).
Resposta
Não existe nenhum
que torne convergente a primeira série.
A segunda série converge se, e somente se, .
A segunda série converge se, e somente se,