1. \int_{0}^{1} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(x^{2})\,dx
Este tipo de integral não tem uma primitiva elementar, então vamos usar expansão em série de Taylor de \operatorname{sen}(u) e integrar termo a termo.

Passo 2

Sabemos que
\operatorname{sen}(u)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{u^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Fazendo u=x^{2}, fica
\operatorname{sen}(x^{2}) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{x^{4k+2}}{(2k+1)!}.

Passo 3

Integrando termo a termo de 0 a 1, obtemos
\int_{0}^{1}x^{4k+2}\,dx=\frac{1}{4k+3},
logo
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(x^{2})\,dx =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{1}{(2k+1)!\,(4k+3)}.

Passo 4

Para aproximar numericamente, somamos os primeiros termos:
\begin{aligned} k=0:&\quad \frac{1}{1!\,3}=\frac{1}{3}\approx0,3333333,\\\ k=1:&\quad -\frac{1}{3!\,7}=-\frac{1}{42}\approx-0,0238095,\\\ k=2:&\quad \frac{1}{5!\,11}=\frac{1}{1320}\approx0,0007576,\\\ k=3:&\quad -\frac{1}{7!\,15}=-\frac{1}{75600}\approx-0,0000132, \end{aligned}
Somando até k=3 já temos
0,3333333-0,0238095+0,0007576-0,0000132\approx0,3102682.
O termo k=4 contribui apenas +1{,}4\times10^{-7}, então a soma converge rápido.

Resposta

\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(x^{2})\,dx\approx0,3102682.

Exercícios relacionados