2.4I A série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n}-\ln \frac{n}{n+1}\right) é convergente ou divergente?

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n^{2}+n}-\ln\frac{n}{n+1}\Bigr)
converge ou diverge. O conteúdo é análise de convergência de séries, usando telescopagem e propriedades de logaritmos.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral aproveitando
\ln\frac{n}{n+1} = -\ln\frac{n+1}{n} = -\ln\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr).
Logo o termo fica
a_n = \frac{1}{n(n+1)} - \ln\frac{n}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)} + \ln\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr).

Passo 3

Considere a soma parcial
S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n = \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)} \;+\;\sum_{n=1}^{N}\ln\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr).
Cada uma dessas somas telescopa.

Passo 4

Primeiro,
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)} =\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr) =1-\frac{1}{N+1}.
Segundo,
\sum_{n=1}^{N}\ln\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr) =\sum_{n=1}^{N}\bigl[\ln(n+1)-\ln n\bigr] =\ln(N+1)-\ln1 =\ln(N+1).

Passo 5

Com isso
S_N = \Bigl(1-\frac{1}{N+1}\Bigr) + \ln(N+1).
Como \ln(N+1)\to\infty quando N\to\infty, temos
\lim_{N\to\infty}S_N = +\infty,
logo a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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