3.4U Identifique a função definida pela série \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) x^{n}. Idem para \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+2) x^{n}}{2^{n+1}}.
3.4V (falha na derivação termo a termo) Mostre que a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n x)}{n^{2}} converge absolutamente em qualquer x e, ainda assim, a série de derivadas diverge quando x=2 \pi. Por que isso não contradiz o Teorema 3.3.1 sobre a derivação termo a termo?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro (3.4U), identificar as funções geradoras das séries de potências
Depois (3.4V), mostrar que a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(nx)}{n^2}
converge absolutamente para todo x, mas que a série de derivadas \sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(nx)/n^2\bigr)
=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n}
diverge em x=2\pi, e explicar por que isso não fere o Teorema 3.3.1 sobre derivação termo a termo.
Passo 2
Começamos por \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n.
Sabemos que \sum_{n=0}^{\infty}x^n = \tfrac{1}{1-x}
e que, derivando em x,
Agora \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+2)x^n}{2^{\,n+1}}
=\frac12\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^n.
Defina r=x/2. Sabemos \sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac{1}{1-r} e \sum_{n=0}^{\infty}n\,r^n=\frac{r}{(1-r)^2}.
Então
Em x=2\pi temos \cos(n\cdot2\pi)=1, de modo que a série vira \sum_{n=1}^{\infty}1/n,
que é a série harmônica e diverge.
Passo 6
O Teorema 3.3.1 exige, além da convergência pontual da série original, que a série de derivadas convirja uniformemente num intervalo em torno do ponto considerado. Aqui a série \sum\cos(nx)/n não converge nem pontualmente em x=2\pi, logo menos ainda uniformemente. Portanto a hipótese de uniformidade do teorema falha e não há contradição.
Resposta
(a) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n=\frac{1}{(1-x)^2} para |x|<1.
(b) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+2)x^n}{2^{\,n+1}}=\frac{4-x}{(2-x)^2} para |x|<2.
(c) A série \sum_{n=1}^{\infty}\operatorname{sen}(nx)/n^2 converge absolutamente em todo x, mas sua série de derivadas \sum_{n=1}^{\infty}\cos(nx)/n diverge em x=2\pi. Não há contradição com o Teorema 3.3.1 porque falta a convergência uniforme da série de derivadas.