3.4U Identifique a função definida pela série \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) x^{n}. Idem para \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+2) x^{n}}{2^{n+1}}.
3.4V (falha na derivação termo a termo) Mostre que a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n x)}{n^{2}} converge absolutamente em qualquer x e, ainda assim, a série de derivadas diverge quando x=2 \pi. Por que isso não contradiz o Teorema 3.3.1 sobre a derivação termo a termo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro (3.4U), identificar as funções geradoras das séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n \quad\text{e}\quad \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+2)x^n}{2^{\,n+1}}\,.
Depois (3.4V), mostrar que a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(nx)}{n^2}
converge absolutamente para todo x, mas que a série de derivadas \sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(nx)/n^2\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n}
diverge em x=2\pi, e explicar por que isso não fere o Teorema 3.3.1 sobre derivação termo a termo.

Passo 2

Começamos por \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n.
Sabemos que \sum_{n=0}^{\infty}x^n = \tfrac{1}{1-x}
e que, derivando em x,
\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1} = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{1-x}\Bigr) = \frac{1}{(1-x)^2}\,.
Multiplicando por x, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^n = \frac{x}{(1-x)^2}\,.
Como \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n = \sum_{n=0}^{\infty}n\,x^n + \sum_{n=0}^{\infty}x^n,
temos
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n = \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x} = \frac{1}{(1-x)^2}\,,
válido para |x|<1.

Passo 3

Agora \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+2)x^n}{2^{\,n+1}} =\frac12\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^n.
Defina r=x/2. Sabemos \sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac{1}{1-r} e \sum_{n=0}^{\infty}n\,r^n=\frac{r}{(1-r)^2}.
Então
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)r^n = \frac{r}{(1-r)^2} + \frac{2}{1-r} = \frac{2-r}{(1-r)^2}\,.
Multiplicando por 1/2 e voltando a r=x/2,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+2)x^n}{2^{\,n+1}} = \frac{1}{2}\,\frac{2-\tfrac{x}{2}}{\bigl(1-\tfrac{x}{2}\bigr)^2} = \frac{4-x}{(2-x)^2}\,,
válido para \bigl|x/2\bigr|<1, isto é, |x|<2.

Passo 4

Para mostrar que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(nx)}{n^2}
converge absolutamente, note que
\left|\frac{\operatorname{sen}(nx)}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}
e sabemos que \sum 1/n^2 é convergente (série p-com p=2>1). Logo a série converge absolutamente para todo x.

Passo 5

A derivada termo a termo seria
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\operatorname{sen}(nx)}{n^2}\Bigr) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n}\,.
Em x=2\pi temos \cos(n\cdot2\pi)=1, de modo que a série vira \sum_{n=1}^{\infty}1/n,
que é a série harmônica e diverge.

Passo 6

O Teorema 3.3.1 exige, além da convergência pontual da série original, que a série de derivadas convirja uniformemente num intervalo em torno do ponto considerado. Aqui a série \sum\cos(nx)/n não converge nem pontualmente em x=2\pi, logo menos ainda uniformemente. Portanto a hipótese de uniformidade do teorema falha e não há contradição.

Resposta

(a) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n=\frac{1}{(1-x)^2} para |x|<1.
(b) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+2)x^n}{2^{\,n+1}}=\frac{4-x}{(2-x)^2} para |x|<2.
(c) A série \sum_{n=1}^{\infty}\operatorname{sen}(nx)/n^2 converge absolutamente em todo x, mas sua série de derivadas \sum_{n=1}^{\infty}\cos(nx)/n diverge em x=2\pi. Não há contradição com o Teorema 3.3.1 porque falta a convergência uniforme da série de derivadas.

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