5²) Pode existir o campo elétrico em um ponto
do espaço, sem que haja uma carga elétrica, nas mesmas coordenadas espaciais do ponto? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta: “Pode existir o campo elétrico em um ponto
do espaço, sem que haja uma carga elétrica nas mesmas coordenadas espaciais do ponto?”\n
Informações dadas (resumidas): o ponto é uma posição no espaço; queremos saber se o vetor campo elétrico
pode ter valor não nulo em
quando não existe carga localizada exatamente em
.\n
O que se pede: uma explicação clara do caso — responder se é possível e justificar fisicamente e matematicamente.
Informações dadas (resumidas): o ponto
O que se pede: uma explicação clara do caso — responder se é possível e justificar fisicamente e matematicamente.
Passo 2
Definição operacional do campo elétrico (o que usamos na prova): o campo elétrico em uma posição
é definido como a força por unidade de carga de teste ideal que se colocaria ali. Em fórmula:
onde
é a força elétrica que age sobre uma carga de teste
colocada em
. Aqui
representa as coordenadas do ponto (por exemplo
). Expliquei isso porque é assim que se “mede”
: colocando um testinho imaginário de carga muito pequeno.
Passo 3
Como campos surgem de cargas situadas em outros pontos (princípio da superposição): para um conjunto de cargas pontuais
localizadas em posições
, o campo em
é dado por
Explicando as peças:
é a permissividade do vácuo;
é o vetor que vai da carga
até o ponto onde calculamos o campo;
é a distância entre eles. Se nenhum dos
coincide com
, cada termo é finito e a soma pode ser não nula: ou seja, há campo em
mesmo sem carga localizada exatamente ali. Exemplo concreto e simples: uma carga
no ponto origem
produz em
com
que é diferente de zero embora a densidade de carga no ponto
seja zero.
Passo 4
Gauss e a relação com densidade de carga: a lei de Gauss no formulário diferencial diz
onde
é a divergência do campo elétrico e
é a densidade volumétrica de carga no ponto
. Tradução prática: a divergência em um ponto traduz quanto “fluxo” do campo está saindo daquele ponto; a densidade
diz quanto de carga existe ali por unidade de volume.\n
Importante (ponto chave para a pergunta): não implica
. A equação relaciona a divergência de
com
, não o valor absoluto de
. Por exemplo, um campo constante
tem
(porque derivadas espaciais são zero) mas
pode ser não nulo. Então é totalmente possível ter
e
.
Importante (ponto chave para a pergunta):
Passo 5
Exemplo físico simples para memorizar (bastante usado em prova): campo de uma única carga pontual
em origem. A densidade de carga no ponto
(que não é a origem) é
, mas o campo em
é
onde
é a distância de
à origem. Esse exemplo responde direto: existe campo em
sem carga em
— porque a carga está em outro lugar e o campo “passa” por
.
Passo 6
Casos especiais e sutilezas — atenção do examinador: (a) Se houver uma carga pontual colocada exatamente em
, o modelo clássico dá um campo que diverge (goza de singularidade): a densidade de carga nesse caso é
e o campo de Coulomb ~
fica infinito ao aproximar
. Então tecnicamente o campo não é um número finito no ponto onde está a carga pontual. (b) Em distribuições contínuas, se existe carga volumétrica finita no ponto, o campo pode ou não ser zero dependendo da distribuição ao redor; não existe uma regra "se
então
" sem analisar o problema. (c) Em eletrodinâmica, ondas eletromagnéticas no vácuo são soluções com
em todo lugar e ainda assim
é não nulo (por exemplo
). Isso é outro exemplo poderoso: campo existe sem cargas locais.
Passo 7
Resumo intuitivo para decorar e usar na prova (como um amigo que te dá a resposta pronta): pense em linhas de campo saindo de cargas. Essas linhas atravessam o espaço — num ponto P pode passar uma ou várias linhas vindas de cargas que estão em outros pontos, então o campo em P existe mesmo sem carga local. Use um exemplo (carga em outro ponto) se precisarem de justificativa; se o examinador quiser precisão matemática, cite
e explique que
não força
. Se perguntarem sobre colocação de carga exatamente em
, lembre de falar da singularidade do campo de carga pontual.
Resposta
Sim. Pode existir
mesmo que não haja carga em
(por exemplo, o campo em
pode ser produzido por cargas em outras posições ou por uma onda eletromagnética); se houver uma carga pontual exatamente em
, o campo clássico geralmente diverge naquele ponto.