4²) Duas esferas condutoras iguais \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B}, estão separadas por uma distância (entre os centros), muito maior que o seu raio. A esfera \boldsymbol{B} tem uma carga negativa -Q / 3 e a esfera A é eletricamente neutra. Inicialmente não existe nenhuma força eletrostática entre as esferas.
(a) As esferas são ligadas momentaneamente por um fio condutor suficientemente fino para que a carga acumulada no mesmo possa ser desprezada. Qual é a força eletrostática entre as esferas, depois que o fio é removido? (0,8 ponto)
(b) A esfera B é ligada momentaneamente à terra e, em seguida a ligação é removida. Qual é a nova força eletrostática entre as esferas? (0,8 ponto)

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que ele pede, passo a passo, bem claro como você pediu.
  • Dados do enunciado:
    • Há duas esferas condutoras idênticas, A e B.
    • A distância entre os centros das esferas é grande em comparação com o raio de cada esfera. Vou chamar essa distância entre centros de \;a\; (o enunciado/desenho também mostra uma seta com a).
    • A esfera B tem carga inicial -\dfrac{Q}{3}.
    • A esfera A é eletricamente neutra, ou seja, carga inicial 0.
    • Inicialmente (antes de qualquer ligação) o enunciado diz que não existe força eletrostática entre elas — isso serve para reforçar que a influência mútua (indução) é desprezível antes das operações, coerente com a hipótese distância muito maior que o raio.
  • O que o enunciado pergunta:
    (a) As esferas são ligadas momentaneamente por um fio condutor fino (que não acumula carga). Depois que o fio é removido, qual é a força eletrostática entre as esferas?
    (b) Em seguida (interpreto a sequência natural: após o item (a)) a esfera B é ligada momentaneamente à terra e depois a ligação é removida. Qual é a nova força eletrostática entre as esferas?

Passo 2

Conceitos importantes e regras físicas que vamos usar (explicando o porquê de cada uma, sem pular etapas):
  • Conservação de carga ao conectar condutores: quando dois condutores idênticos são ligados por um fio condutor fino e isolados do resto do mundo, as cargas livres se redistribuem até que ambos fiquem no mesmo potencial. Se as esferas são idênticas e estão suficientemente separadas (distância muito maior que o raio), cada uma terá a mesma capacitância com relação ao infinito, e por simetria (mesma forma, mesmo raio) a carga total se divide igualmente entre as duas depois da ligação. Isso vale porque a influência mútua é desprezível pela hipótese “centros muito separados”.
  • Potencial de uma esfera condutora isolada (raio R) com carga q: \displaystyle V=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{R}. Aqui V é o potencial da superfície relativo ao infinito, \varepsilon_0 a permissividade do vácuo, R o raio da esfera. Se duas esferas idênticas ficam conectadas, elas têm o mesmo V e, por serem idênticas, q se equaliza.
  • Força eletrostática entre duas cargas puntiformes (ou entre cargas concentradas em esferas muito menores que a separação): Lei de Coulomb: \displaystyle F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{|q_1 q_2|}{a^2}, onde a é a distância entre os centros. O sinal (atração/repulsão) depende dos sinais das cargas: cargas de mesmo sinal se repelem, de sinais opostos se atraem.
  • Aterramento (ligar à terra): ao ligar um condutor isolado à terra, cargas podem fluir entre o condutor e a Terra até que o condutor fique no potencial da Terra (tomado como zero). Se a influência de outras cargas for desprezível, isso leva o condutor a ficar eletricamente neutro ( q=0) quando desconectado. Se houver uma outra carga próxima, pode haver indução e resultado diferente; mas pela hipótese de separação muito grande, trataremos a influência como desprezível.
Vou aplicar essas leis ao problema em passos concretos.

Passo 3

Resolver (a): ligação momentânea por um fio entre A e B.
  • Antes da ligação:
    • q_A^{(i)} = 0.
    • q_B^{(i)} = -\dfrac{Q}{3}.
    • Carga total do sistema: \displaystyle q_{\text{total}} = 0 + \left(-\dfrac{Q}{3}\right) = -\dfrac{Q}{3}.
  • Ao ligar as esferas por um fio condutor fino e desprezando carga no fio, as cargas se redistribuem e as duas esferas idênticas ficam ao mesmo potencial. Pela simetria e porque são idênticas e estão muito separadas (a influência mútua é desprezível no momento da redistribuição), a carga total se divide igualmente entre as duas esferas. Portanto cada esfera recebe metade da carga total:
    • \displaystyle q_A^{(f)} = q_B^{(f)} = \frac{1}{2}\,q_{\text{total}} = \frac{1}{2}\left(-\dfrac{Q}{3}\right) = -\dfrac{Q}{6}.
  • Depois que o fio é removido, as cargas permanecem assim (cada esfera com -\dfrac{Q}{6}), porque são condutores isolados agora.
  • Força entre as esferas após a separação:
    • Ambas têm carga negativa -\dfrac{Q}{6}, ou seja, sinais iguais → a força é de repulsão.
    • Magnitude dada pela lei de Coulomb, com a distancia entre centros: F_{(a)} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\left(\dfrac{Q}{6}\right)^2}{a^2} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{Q^2}{36\,a^2}.
    • Direção: as esferas se repelem, então se B está acima de A (como no desenho), B sente uma força para cima e A para baixo.

Passo 4

Resolver (b): ligação momentânea da esfera B à terra (após o item (a)).
  • Situação inicial para (b) (interpretação natural): após (a) temos
    • q_A = -\dfrac{Q}{6},
    • q_B = -\dfrac{Q}{6}.
  • Agora ligamos momentaneamente B à terra. O que acontece fisicamente?
    • Ao ligar B à terra, cargas podem fluir entre B e a Terra até que B atinja o potencial da Terra (que tomamos como 0).
    • Como as esferas estão muito distantes (hipótese do enunciado: distância muito maior que o raio), a influência de A sobre o potencial de B é desprezível para o cálculo do balanço de carga ao aterrar B. Assim, ao aterrar B a carga de B se anula: q_B tende a 0.
    • A esfera A permanece isolada e mantém sua carga q_A = -\dfrac{Q}{6} (não foi ligada à terra nem conectada a B neste passo).
    • Depois que a ligação à terra for retirada, B fica neutra (carga zero) se desprezarmos indução remanescente significativa.
  • Força entre as esferas após o aterramento de B:
    • q_A = -\dfrac{Q}{6}, q_B = 0.
    • Uma esfera neutra idealmente não exerce força coulombiana de longo alcance sobre uma carga distante se considerarmos apenas cargas puntiformes; há, em princípio, atração por indução se a esfera neutra for condutora e estiver próxima, mas essa indução cria apenas forças significativas quando a distância é comparável ao raio. Pela hipótese do enunciado (distância entre centros muito maior que o raio), a força de indução é desprezível.
    • Portanto, na aproximação pedida pelo problema, a força eletrostática entre A e B após o aterramento é desprezível, i.e. aproximadamente zero: F_{(b)} \approx 0.

Passo 5

Resumo físico curto para fixar a intuição (para você lembrar na prova):
  • Ao ligar duas esferas idênticas isoladas, a carga total se divide igualmente (metade para cada) porque elas ficam no mesmo potencial e são idênticas.
  • Ao aterrar uma esfera isolada e desprezando campos de outras cargas distantes, ela fica neutra (potencial zero implica carga zero para uma esfera isolada).
  • Se uma esfera fica neutra e está muito distante da outra, a força entre elas é praticamente zero (a atração por indução é negligenciável sob a hipótese “distância muito maior que o raio”).

Resposta

(a) Repulsiva, de módulo \displaystyle \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q^2}{36\,a^2}.\n(b) Aproximadamente 0.

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