4²) Duas esferas condutoras iguais
e
, estão separadas por uma distância (entre os centros), muito maior que o seu raio. A esfera
tem uma carga negativa
e a esfera
é eletricamente neutra. Inicialmente não existe nenhuma força eletrostática entre as esferas.
(a) As esferas são ligadas momentaneamente por um fio condutor suficientemente fino para que a carga acumulada no mesmo possa ser desprezada. Qual é a força eletrostática entre as esferas, depois que o fio é removido? (0,8 ponto)
(b) A esfera B é ligada momentaneamente à terra e, em seguida a ligação é removida. Qual é a nova força eletrostática entre as esferas? (0,8 ponto)
(a) As esferas são ligadas momentaneamente por um fio condutor suficientemente fino para que a carga acumulada no mesmo possa ser desprezada. Qual é a força eletrostática entre as esferas, depois que o fio é removido? (0,8 ponto)
(b) A esfera B é ligada momentaneamente à terra e, em seguida a ligação é removida. Qual é a nova força eletrostática entre as esferas? (0,8 ponto)
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado dá e o que ele pede, passo a passo, bem claro como você pediu.
-
Dados do enunciado:
- Há duas esferas condutoras idênticas,
e . - A distância entre os centros das esferas é grande em comparação com o raio de cada esfera. Vou chamar essa distância entre centros de
(o enunciado/desenho também mostra uma seta com ). - A esfera
tem carga inicial . - A esfera
é eletricamente neutra, ou seja, carga inicial . - Inicialmente (antes de qualquer ligação) o enunciado diz que não existe força eletrostática entre elas — isso serve para reforçar que a influência mútua (indução) é desprezível antes das operações, coerente com a hipótese distância muito maior que o raio.
- Há duas esferas condutoras idênticas,
-
O que o enunciado pergunta:
(a) As esferas são ligadas momentaneamente por um fio condutor fino (que não acumula carga). Depois que o fio é removido, qual é a força eletrostática entre as esferas?
(b) Em seguida (interpreto a sequência natural: após o item (a)) a esferaé ligada momentaneamente à terra e depois a ligação é removida. Qual é a nova força eletrostática entre as esferas?
Passo 2
Conceitos importantes e regras físicas que vamos usar (explicando o porquê de cada uma, sem pular etapas):
- Conservação de carga ao conectar condutores: quando dois condutores idênticos são ligados por um fio condutor fino e isolados do resto do mundo, as cargas livres se redistribuem até que ambos fiquem no mesmo potencial. Se as esferas são idênticas e estão suficientemente separadas (distância muito maior que o raio), cada uma terá a mesma capacitância com relação ao infinito, e por simetria (mesma forma, mesmo raio) a carga total se divide igualmente entre as duas depois da ligação. Isso vale porque a influência mútua é desprezível pela hipótese “centros muito separados”.
- Potencial de uma esfera condutora isolada (raio
) com carga : . Aqui é o potencial da superfície relativo ao infinito, a permissividade do vácuo, o raio da esfera. Se duas esferas idênticas ficam conectadas, elas têm o mesmo e, por serem idênticas, se equaliza. - Força eletrostática entre duas cargas puntiformes (ou entre cargas concentradas em esferas muito menores que a separação): Lei de Coulomb:
, onde é a distância entre os centros. O sinal (atração/repulsão) depende dos sinais das cargas: cargas de mesmo sinal se repelem, de sinais opostos se atraem. - Aterramento (ligar à terra): ao ligar um condutor isolado à terra, cargas podem fluir entre o condutor e a Terra até que o condutor fique no potencial da Terra (tomado como zero). Se a influência de outras cargas for desprezível, isso leva o condutor a ficar eletricamente neutro (
) quando desconectado. Se houver uma outra carga próxima, pode haver indução e resultado diferente; mas pela hipótese de separação muito grande, trataremos a influência como desprezível.
Vou aplicar essas leis ao problema em passos concretos.
Passo 3
Resolver (a): ligação momentânea por um fio entre
e
.
-
Antes da ligação:
-
. -
. - Carga total do sistema:
-
-
Ao ligar as esferas por um fio condutor fino e desprezando carga no fio, as cargas se redistribuem e as duas esferas idênticas ficam ao mesmo potencial. Pela simetria e porque são idênticas e estão muito separadas (a influência mútua é desprezível no momento da redistribuição), a carga total se divide igualmente entre as duas esferas. Portanto cada esfera recebe metade da carga total:
-
-
Depois que o fio é removido, as cargas permanecem assim (cada esfera com
), porque são condutores isolados agora. -
Força entre as esferas após a separação:
- Ambas têm carga negativa
, ou seja, sinais iguais → a força é de repulsão. - Magnitude dada pela lei de Coulomb, com
distancia entre centros: - Direção: as esferas se repelem, então se
está acima de (como no desenho), sente uma força para cima e para baixo.
- Ambas têm carga negativa
Passo 4
Resolver (b): ligação momentânea da esfera
à terra (após o item (a)).
-
Situação inicial para (b) (interpretação natural): após (a) temos
-
, -
.
-
-
Agora ligamos momentaneamente
à terra. O que acontece fisicamente? - Ao ligar
à terra, cargas podem fluir entre e a Terra até que atinja o potencial da Terra (que tomamos como ). - Como as esferas estão muito distantes (hipótese do enunciado: distância muito maior que o raio), a influência de
sobre o potencial de é desprezível para o cálculo do balanço de carga ao aterrar . Assim, ao aterrar a carga de se anula: tende a . - A esfera
permanece isolada e mantém sua carga (não foi ligada à terra nem conectada a neste passo). - Depois que a ligação à terra for retirada,
fica neutra (carga zero) se desprezarmos indução remanescente significativa.
- Ao ligar
-
Força entre as esferas após o aterramento de
: -
, . - Uma esfera neutra idealmente não exerce força coulombiana de longo alcance sobre uma carga distante se considerarmos apenas cargas puntiformes; há, em princípio, atração por indução se a esfera neutra for condutora e estiver próxima, mas essa indução cria apenas forças significativas quando a distância é comparável ao raio. Pela hipótese do enunciado (distância entre centros muito maior que o raio), a força de indução é desprezível.
- Portanto, na aproximação pedida pelo problema, a força eletrostática entre
e após o aterramento é desprezível, i.e. aproximadamente zero:
-
Passo 5
Resumo físico curto para fixar a intuição (para você lembrar na prova):
- Ao ligar duas esferas idênticas isoladas, a carga total se divide igualmente (metade para cada) porque elas ficam no mesmo potencial e são idênticas.
- Ao aterrar uma esfera isolada e desprezando campos de outras cargas distantes, ela fica neutra (potencial zero implica carga zero para uma esfera isolada).
- Se uma esfera fica neutra e está muito distante da outra, a força entre elas é praticamente zero (a atração por indução é negligenciável sob a hipótese “distância muito maior que o raio”).
Resposta
(a) Repulsiva, de módulo
\n(b) Aproximadamente
.